Subgroups — #6437245

Order 512.

2244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3167	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#30281	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#30259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#30254	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#23811	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	#3182	—	2	16	no	—
15	#3167	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#468	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#465	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#440	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2862	C₂²	1	2	yes	—
33	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2858	C₂²	1	2	yes	—
36	#2621	C₂²	1	4	yes	—
37	#2619	C₂²	1	4	yes	—
38	#2565	—	2	4	no	—
39	#2544	—	2	4	no	—
40	#2499	—	2	4	no	—
41	#2431	—	2	4	no	—
42	#2328	C₂²	1	4	yes	—
43	#2327	C₂²	1	4	yes	—
44	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#2097	C₂²	1	16	yes	—
46	#2092	C₂²	1	16	yes	—
47	#2014	C₂²	1	16	yes	—
48	#2013	C₂²	1	16	yes	—
49	#1746	C₂²	1	4	yes	—
50	#1744	C₂²	1	2	yes	—
51	#1744	C₂²	1	2	yes	—
52	#1729	C₂²	1	4	yes	—
53	C₂²×#41	—	2	2	no	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#533	—	2	8	no	—
59	#533	—	2	8	no	—
60	#532	—	2	8	no	—
61	#532	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#124	—	2	2	no	—
71	C₂×#124	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#121	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#117	—	2	2	no	—
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#500	—	2	8	no	—
84	#498	—	2	8	no	—
85	#492	—	2	8	no	—
86	#492	—	2	8	no	—
87	#487	—	2	8	no	—
88	#487	—	2	8	no	—
89	#486	—	2	8	no	—
90	#486	—	2	8	no	—
91	#468	—	2	32	no	—
92	#465	—	2	32	no	—
93	#440	—	2	32	no	—
94	C₄×SD₁₆	—	2	32	no	—
95	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
101	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
102	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#398	—	2	8	no	—
108	#397	—	2	8	no	—
109	#394	—	2	8	no	—
110	#392	—	2	8	no	—
111	#391	—	2	4	no	—
112	#391	—	2	4	no	—
113	#391	—	2	4	no	—
114	#391	C₂³	1	8	yes	—
115	#390	—	2	4	no	—
116	#390	C₂³	1	8	yes	—
117	#387	—	2	16	no	—
118	#386	—	2	16	no	—
119	#384	—	2	4	no	—
120	#382	—	2	4	no	—
121	#382	C₂³	1	4	yes	—
122	#382	C₂³	1	4	yes	—
123	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
125	#376	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#336	C₂³	1	8	yes	—
129	#336	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×#41	—	4	8	no	—
131	C₂×#41	—	8	8	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#127	—	4	8	no	—
163	#127	—	8	8	no	—
164	#125	—	4	8	no	—
165	#124	—	4	8	no	—
166	#124	—	8	8	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#121	—	2	8	no	—
172	#121	—	4	8	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
176	C₄×D₄	—	2	8	no	—
177	C₄×D₄	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	4	8	no	—
179	#117	—	4	4	no	—
180	#117	—	4	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	#107	—	2	16	no	—
207	#106	—	2	16	no	—
208	#103	—	2	16	no	—
209	#103	—	2	16	no	—
210	#102	—	2	16	no	—
211	#102	—	2	16	no	—
212	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
216	#95	—	2	16	no	—
217	#95	—	2	8	no	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	8	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	16	no	—
233	C₂×D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	8	16	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
248	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	SD₁₆	—	4	32	no	—
258	SD₁₆	—	4	32	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
282	C₄²	—	2	8	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	4	8	no	—
287	C₄²	#127	1	8	yes	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	4	8	no	—
302	Q₈	—	8	8	no	—
303	Q₈	—	8	8	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	16	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	16	no	—
326	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
333	C₈	—	2	8	no	—
334	C₈	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	16	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3449	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	#3154	1	8	yes	—
353	C₄	#3449	1	2	yes	—
354	C₄	#3449	1	2	yes	—
355	C₂	—	4	2	no	—
356	C₂	—	16	4	no	—
357	C₂	#34641	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#3154	1	2	yes	—
359	C₂	#61012	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35293	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3182	C₂	semidirect
2. C₂×#3167	C₂	semidirect
3. #35322	C₂	semidirect
5. #30281	C₂	semidirect
6. #30278	C₂	semidirect
7. #30263	C₂	semidirect
8. #30259	C₂	semidirect
9. #30254	C₂	semidirect
10. #23811	C₂	semidirect
11. #20366	C₂	semidirect
101. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
103. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3182	2
C₂×#3167	2
#35322	2
#35293	2
#30281	2
#30278	2
#30263	2
#30259	2
#30254	2
#23811	2
#20366	2