Subgroups — #6437249

Order 512.

2228 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30279	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#30260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#30255	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#23812	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	#3182	—	2	16	no	—
15	#3170	—	2	8	no	—
16	#3169	—	2	8	no	—
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#468	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#440	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2868	C₂²	1	2	yes	—
36	#2862	C₂²	1	2	yes	—
37	#2858	C₂²	1	2	yes	—
38	#2858	C₂²	1	2	yes	—
39	#2620	C₂²	1	8	yes	—
40	#2566	—	2	4	no	—
41	#2545	—	2	4	no	—
42	#2500	—	2	4	no	—
43	#2432	—	2	4	no	—
44	#2326	C₂²	1	8	yes	—
45	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#2095	C₂²	1	16	yes	—
47	#2093	C₂²	1	16	yes	—
48	#2015	C₂²	1	16	yes	—
49	#2012	C₂²	1	16	yes	—
50	#1746	C₂²	1	4	yes	—
51	#1744	C₂²	1	2	yes	—
52	#1744	C₂²	1	2	yes	—
53	#1729	C₂²	1	4	yes	—
54	C₂²×#41	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#533	—	2	8	no	—
61	#533	—	2	8	no	—
62	#532	—	2	8	no	—
63	#532	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#124	—	2	2	no	—
71	C₂×#124	—	2	4	no	—
72	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#121	—	2	2	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#117	—	2	2	no	—
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#500	—	2	4	no	—
85	#500	—	2	4	no	—
86	#500	—	2	8	no	—
87	#494	—	2	4	no	—
88	#493	—	2	4	no	—
89	#492	—	2	8	no	—
90	#487	—	2	8	no	—
91	#487	—	2	8	no	—
92	#486	—	2	8	no	—
93	#486	—	2	8	no	—
94	#468	—	2	32	no	—
95	#467	—	2	16	no	—
96	#466	—	2	16	no	—
97	#440	—	2	32	no	—
98	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
99	C₄×D₈	—	2	16	no	—
100	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
107	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#396	—	2	16	no	—
115	#394	—	2	16	no	—
116	#391	—	2	4	no	—
117	#391	C₂³	1	8	yes	—
118	#390	—	2	4	no	—
119	#390	—	2	4	no	—
120	#390	—	2	4	no	—
121	#390	C₂³	1	8	yes	—
122	#388	—	2	16	no	—
123	#385	—	2	16	no	—
124	#384	—	2	4	no	—
125	#384	C₂³	1	8	yes	—
126	#382	—	2	4	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
128	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
130	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
131	#376	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
133	#336	C₂³	1	8	yes	—
134	#336	C₂³	1	8	yes	—
135	C₂×#41	—	4	8	no	—
136	C₂×#41	—	8	8	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
152	C₂×D₈	—	2	8	no	—
153	C₂×D₈	—	4	8	no	—
154	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
168	#127	—	2	4	no	—
169	#127	—	2	4	no	—
170	#125	—	4	8	no	—
171	#124	—	4	16	no	—
172	#124	—	4	8	no	—
173	#124	—	8	8	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
177	#121	—	2	8	no	—
178	#121	—	2	8	no	—
179	#121	—	4	8	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
182	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	4	8	no	—
186	#117	—	4	4	no	—
187	#117	—	4	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	#107	—	2	8	no	—
215	#107	—	2	8	no	—
216	#107	—	2	16	no	—
217	#103	—	2	16	no	—
218	#103	—	2	16	no	—
219	#102	—	2	16	no	—
220	#102	—	2	16	no	—
221	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
226	#95	—	2	16	no	—
227	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₂⁴	—	2	4	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	8	32	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	16	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	8	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
256	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	4	16	no	—
268	SD₁₆	—	4	32	no	—
269	D₈	—	4	16	no	—
270	M₁₆	—	4	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	4	8	no	—
275	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
296	C₄²	—	2	8	no	—
297	C₄²	—	2	8	no	—
298	C₄²	—	2	8	no	—
299	C₄²	—	4	8	no	—
300	C₄²	#127	1	4	yes	—
301	C₄²	#127	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	4	8	no	—
316	Q₈	—	4	8	no	—
317	Q₈	—	8	8	no	—
318	Q₈	—	8	8	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	D₄	—	8	16	no	—
322	D₄	—	8	8	no	—
323	D₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	16	no	—
341	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	16	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3449	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	8	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	#3155	1	4	yes	—
374	C₄	#3156	1	4	yes	—
375	C₄	#3449	1	2	yes	—
376	C₄	#3449	1	2	yes	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	—	16	4	no	—
379	C₂	#34641	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#3155	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×#3156	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#61014	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3182	C₂	semidirect
2. C₂×#3170	C₂	semidirect
4. #35298	C₂	semidirect
5. #30279	C₂	semidirect
6. #30276	C₂	semidirect
7. #30261	C₂	semidirect
8. #30260	C₂	semidirect
9. #30255	C₂	semidirect
10. #23812	C₂	semidirect
11. #20366	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3182	2
C₂×#3170	2
C₂×#3169	2
#35298	2
#30279	2
#30276	2
#30261	2
#30260	2
#30255	2
#23812	2
#20366	2