Subgroups — #6437280

Order 512.

1244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 269 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35345	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30306	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#30299	C₂	1	8	yes	maximal
6	#23845	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23844	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20825	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20818	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2864	C₂²	1	2	yes	—
14	#2864	C₂²	1	2	yes	—
15	#2862	C₂²	1	2	yes	—
16	#2859	C₂²	1	2	yes	—
17	#2629	C₂²	1	4	yes	—
18	#2628	C₂²	1	4	yes	—
19	#2608	—	2	4	no	—
20	#2607	—	2	4	no	—
21	#2606	—	2	4	no	—
22	#2605	—	2	4	no	—
23	#2331	C₂²	1	4	yes	—
24	#2330	C₂²	1	4	yes	—
25	#2283	C₂²	1	2	yes	—
26	#2283	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2085	C₂²	1	8	yes	—
29	#2085	C₂²	1	8	yes	—
30	#2084	C₂²	1	8	yes	—
31	#2083	C₂²	1	8	yes	—
32	#2059	C₂²	1	8	yes	—
33	#2059	C₂²	1	8	yes	—
34	#2058	C₂²	1	8	yes	—
35	#2057	C₂²	1	8	yes	—
36	#1846	C₂²	1	4	yes	—
37	#1846	C₂²	1	4	yes	—
38	#1835	C₂²	1	4	yes	—
39	#1835	C₂²	1	4	yes	—
40	#1809	C₂²	1	8	yes	—
41	#1808	C₂²	1	4	yes	—
42	#1807	C₂²	1	4	yes	—
43	#1776	C₂²	1	8	yes	—
44	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
46	#1746	C₂²	1	2	yes	—
47	#1746	C₂²	1	2	yes	—
48	#1744	C₂²	1	2	yes	—
49	#1744	C₂²	1	2	yes	—
50	#1729	C₂²	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
61	C₄×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
62	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#400	—	2	4	no	—
69	#399	—	2	4	no	—
70	#398	—	2	8	no	—
71	#396	—	2	8	no	—
72	#395	—	2	4	no	—
73	#393	—	2	4	no	—
74	#391	—	2	8	no	—
75	#391	—	2	8	no	—
76	#389	—	2	8	no	—
77	#389	—	2	8	no	—
78	#389	C₂³	1	8	yes	—
79	#389	C₂³	1	8	yes	—
80	#387	—	2	8	no	—
81	#387	—	2	8	no	—
82	#387	—	2	8	no	—
83	#387	—	2	8	no	—
84	#384	C₂³	1	4	yes	—
85	#383	—	2	2	no	—
86	#383	—	2	2	no	—
87	#382	C₂³	1	4	yes	—
88	#382	C₂³	1	4	yes	—
89	#382	C₂³	1	4	yes	—
90	#381	—	2	2	no	—
91	#381	—	2	2	no	—
92	#380	C₂³	1	4	yes	—
93	#380	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
100	#376	—	2	2	no	—
101	#376	—	2	2	no	—
102	#376	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#340	C₂³	1	8	yes	—
106	#340	C₂³	1	8	yes	—
107	#340	C₂³	1	8	yes	—
108	#340	C₂³	1	8	yes	—
109	#336	C₂³	1	4	yes	—
110	#336	C₂³	1	4	yes	—
111	#336	C₂³	1	4	yes	—
112	#336	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
124	#125	—	4	8	no	—
125	#117	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#107	—	4	8	no	—
149	#107	—	4	8	no	—
150	#106	—	4	8	no	—
151	#106	—	4	8	no	—
152	#97	C₂×Q₈	1	8	yes	—
153	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
155	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
156	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	2	4	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	#95	—	2	4	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	—	2	4	no	—
166	#95	—	2	4	no	—
167	#95	—	2	8	no	—
168	#95	—	2	8	no	—
169	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	M₁₆	—	4	8	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	4	8	no	—
192	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
193	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
194	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
195	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	4	4	no	—
211	C₄²	—	4	4	no	—
212	C₄²	—	8	4	no	—
213	C₄²	—	8	4	no	—
214	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
215	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
216	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
217	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
218	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	16	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
246	C₈	—	2	4	no	—
247	C₈	—	2	4	no	—
248	C₈	—	2	8	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	4	4	no	—
252	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#3449	1	2	yes	—
254	C₂²	#3584	1	4	yes	—
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	2	4	no	—
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	4	4	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	8	8	no	—
261	C₄	—	8	8	no	—
262	C₄	#3458	1	2	yes	—
263	C₄	#3458	1	2	yes	—
264	C₂	—	4	2	no	—
265	C₂	#34642	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#60660	1	2	yes	—
267	C₂	#61010	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #30308	C₂	semidirect
4. #30306	C₂	semidirect
6. #23845	C₂	semidirect
7. #23844	C₂	semidirect
61. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect
63. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35345	2
#35344	2
#30308	2
#30306	2
#30299	2
#23845	2
#23844	2
#20825	2
#20818	2
#20366	2