Subgroups — #6439741

Order 512.

2287 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#60168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#26923	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#26920	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23521	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#23430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#21078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#21042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#1887	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
13	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
17	#3081	—	2	8	no	—
18	#3081	C₂²	1	16	yes	complemented
19	#3077	—	2	8	no	—
20	#2949	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#2948	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#2946	—	2	8	no	—
23	C₄×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
24	#2911	C₂²	1	2	yes	—
25	#2911	C₂²	1	2	yes	—
26	#2905	C₂²	1	2	yes	—
27	#2896	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
33	#2873	C₂²	1	2	yes	—
34	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2046	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#2045	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#2028	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#2027	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#2014	C₂²	1	4	yes	—
40	#2011	C₂²	1	4	yes	—
41	#1931	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1922	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#1887	C₂²	1	16	yes	—
44	#1857	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1856	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1738	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
50	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
53	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
55	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
56	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
57	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
58	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	#544	—	2	4	no	—
64	#544	C₂³	1	4	yes	—
65	#543	—	4	1	no	—
66	#533	—	2	4	no	—
67	#533	—	4	1	no	—
68	C₂×#127	—	2	8	no	—
69	C₂×#127	—	4	1	no	—
70	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
71	#520	—	2	4	no	—
72	#519	C₂³	1	2	yes	—
73	#518	—	2	4	no	—
74	#518	—	2	4	no	—
75	#518	—	4	1	no	—
76	#518	—	4	2	no	—
77	#518	C₂³	1	8	yes	—
78	#518	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂×#117	—	4	1	no	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#478	—	2	16	no	—
89	#478	—	2	16	no	—
90	#476	—	2	16	no	—
91	#474	—	2	16	no	—
92	#442	—	2	16	no	—
93	#440	—	2	16	no	—
94	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
95	C₄×D₈	—	2	16	no	—
96	#428	—	2	4	no	—
97	#428	D₄	1	8	yes	complemented
98	#428	D₄	1	8	yes	complemented
99	#428	C₂³	1	8	yes	—
100	#427	—	2	4	no	—
101	#427	C₂³	1	8	yes	—
102	#424	—	2	4	no	—
103	#424	C₂³	1	8	yes	—
104	#423	—	2	4	no	—
105	#419	C₂³	1	4	yes	—
106	#418	—	2	4	no	—
107	#418	—	2	4	no	—
108	#418	—	2	4	no	—
109	#418	—	2	4	no	—
110	#418	C₂³	1	8	yes	—
111	#418	C₂³	1	8	yes	—
112	#418	C₂³	1	4	yes	—
113	#417	—	2	4	no	—
114	#416	—	2	4	no	—
115	C₂×#102	—	2	4	no	—
116	C₂×#102	—	2	4	no	—
117	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
118	#413	—	2	4	no	—
119	C₂×#101	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×#100	—	2	8	no	—
121	C₂×#100	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
123	#405	—	2	4	no	—
124	#405	C₂³	1	8	yes	—
125	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
126	#391	C₂³	1	2	yes	—
127	#390	C₂³	1	2	yes	—
128	#386	—	4	1	no	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
130	#343	C₂³	1	4	yes	—
131	#341	C₂³	1	8	yes	—
132	#339	C₂³	1	8	yes	—
133	#339	C₂³	1	8	yes	—
134	#336	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂⁵	—	2	2	no	—
136	C₂×#41	—	2	2	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	2	2	no	—
139	C₂×#41	—	2	4	no	—
140	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
141	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
154	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
155	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
162	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
165	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×D₈	—	2	8	no	—
167	C₂×D₈	—	2	8	no	—
168	C₂×D₈	—	2	8	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
185	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
186	#127	—	2	16	no	—
187	#127	—	4	8	no	—
188	#125	—	2	8	no	—
189	#125	—	4	2	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	16	no	—
195	C₄×D₄	—	2	16	no	—
196	C₄×D₄	—	2	8	no	—
197	C₄×D₄	—	4	8	no	—
198	C₄×D₄	—	4	8	no	—
199	C₄×D₄	—	4	8	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	—	2	2	no	—
202	#117	—	2	2	no	—
203	#117	—	2	2	no	—
204	#117	—	2	2	no	—
205	#117	—	2	2	no	—
206	#117	—	4	2	no	—
207	#117	—	4	2	no	—
208	#117	—	4	2	no	—
209	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
212	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
232	#107	—	2	8	no	—
233	#107	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
234	#106	—	2	8	no	—
235	#106	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
236	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
237	#103	—	2	8	no	—
238	#102	—	2	16	no	—
239	#102	—	2	16	no	—
240	#102	—	2	16	no	—
241	#102	—	2	8	no	—
242	#101	—	2	4	no	—
243	#100	—	2	16	no	—
244	#100	—	2	4	no	—
245	#97	—	2	8	no	—
246	C₄×C₈	—	2	8	no	—
247	#95	—	4	2	no	—
248	C₂⁴	—	2	8	no	—
249	C₂⁴	—	2	1	no	—
250	C₂⁴	—	2	4	no	—
251	C₂⁴	—	4	2	no	—
252	C₂⁴	—	4	4	no	—
253	C₂⁴	—	4	2	no	—
254	C₂⁴	—	8	8	no	—
255	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	#41	—	2	8	no	—
257	#41	—	2	8	no	—
258	#41	—	4	4	no	—
259	#41	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	8	no	—
267	C₂×D₄	—	2	8	no	—
268	C₂×D₄	—	2	8	no	—
269	C₂×D₄	—	2	8	no	—
270	C₂×D₄	—	2	8	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	2	no	—
273	C₂×D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	2	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	4	no	—
278	C₂×D₄	—	2	1	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×D₄	—	4	2	no	—
281	C₂×D₄	—	4	16	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	2	no	—
287	C₂×D₄	—	4	4	no	—
288	C₂×D₄	—	4	4	no	—
289	C₂×D₄	—	8	8	no	—
290	C₂×D₄	—	8	8	no	—
291	C₂×D₄	—	8	32	no	—
292	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
293	C₂×D₄	C₂×#41	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
312	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
314	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
315	SD₁₆	—	2	32	no	—
316	D₈	—	2	32	no	—
317	M₁₆	—	2	8	no	—
318	M₁₆	—	2	8	no	—
319	M₁₆	—	2	4	no	—
320	M₁₆	—	2	4	no	—
321	M₁₆	—	2	4	no	—
322	M₁₆	—	2	4	no	—
323	M₁₆	—	4	4	no	—
324	M₁₆	—	4	4	no	—
325	C₂×C₈	—	2	4	no	—
326	C₂×C₈	—	2	4	no	—
327	C₂×C₈	—	2	4	no	—
328	C₂×C₈	—	2	4	no	—
329	C₂×C₈	—	4	4	no	—
330	C₂×C₈	—	4	4	no	—
331	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
338	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
339	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
348	C₄²	—	2	4	no	—
349	C₄²	—	2	4	no	—
350	C₄²	—	2	4	no	—
351	C₄²	—	2	4	no	—
352	C₄²	—	2	4	no	—
353	C₄²	—	4	4	no	—
354	C₄²	—	4	1	no	—
355	C₄²	—	4	1	no	—
356	C₄²	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	2	2	no	—
358	C₂³	—	2	8	no	—
359	C₂³	—	4	2	no	—
360	C₂³	—	4	1	no	—
361	C₂³	—	4	4	no	—
362	C₂³	—	4	8	no	—
363	C₂³	—	4	4	no	—
364	C₂³	—	4	1	no	—
365	C₂³	—	4	8	no	—
366	C₂³	—	8	8	no	—
367	C₂³	—	8	2	no	—
368	C₂³	—	8	8	no	—
369	C₂³	—	8	16	no	—
370	C₂³	—	16	4	no	—
371	C₂³	—	16	8	no	—
372	C₂³	#539	1	2	yes	—
373	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
374	C₂³	#551	1	2	yes	—
375	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
376	Q₈	—	2	4	no	—
377	Q₈	—	4	2	no	—
378	Q₈	—	16	4	no	—
379	D₄	—	2	4	no	—
380	D₄	—	2	8	no	—
381	D₄	—	2	8	no	—
382	D₄	—	4	8	no	—
383	D₄	—	4	4	no	—
384	D₄	—	4	4	no	—
385	D₄	—	4	2	no	—
386	D₄	—	4	8	no	—
387	D₄	—	4	8	no	—
388	D₄	—	8	32	no	—
389	C₂×C₄	—	2	4	no	—
390	C₂×C₄	—	2	2	no	—
391	C₂×C₄	—	2	8	no	—
392	C₂×C₄	—	2	8	no	—
393	C₂×C₄	—	4	2	no	—
394	C₂×C₄	—	4	8	no	—
395	C₂×C₄	—	4	1	no	—
396	C₂×C₄	—	4	2	no	—
397	C₂×C₄	—	4	1	no	—
398	C₂×C₄	—	4	4	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	4	2	no	—
401	C₂×C₄	—	8	4	no	—
402	C₂×C₄	—	8	4	no	—
403	C₂×C₄	—	8	2	no	—
404	C₂×C₄	—	16	4	no	—
405	C₂×C₄	—	16	16	no	—
406	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
407	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
408	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
412	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
413	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
416	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
418	C₈	—	2	8	no	—
419	C₈	—	4	4	no	—
420	C₈	—	4	4	no	—
421	C₂²	—	2	2	no	—
422	C₂²	—	2	4	no	—
423	C₂²	—	4	2	no	—
424	C₂²	—	4	2	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	8	no	—
427	C₂²	—	8	8	no	—
428	C₂²	—	8	2	no	—
429	C₂²	—	8	16	no	—
430	C₂²	—	8	2	no	—
431	C₂²	—	8	8	no	—
432	C₂²	—	16	1	no	—
433	C₂²	—	16	8	no	—
434	C₂²	—	16	4	no	—
435	C₂²	#2463	1	4	yes	—
436	C₂²	C₂×#539	1	1	yes	characteristic
437	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
438	C₂²	C₂×#551	1	1	yes	characteristic
439	C₄	—	4	4	no	—
440	C₄	—	4	2	no	—
441	C₄	—	4	8	no	—
442	C₄	—	4	8	no	—
443	C₄	—	8	2	no	—
444	C₄	#2463	1	2	yes	—
445	C₄	#2463	1	2	yes	—
446	C₄	C₂×#525	1	2	yes	—
447	C₄	C₂×#548	1	2	yes	—
448	C₂	—	2	1	no	—
449	C₂	—	2	4	no	—
450	C₂	—	2	1	no	—
451	C₂	—	8	8	no	—
452	C₂	—	8	2	no	—
453	C₂	C₂×#2463	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#61110	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#23430	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60490	C₂	semidirect
2. #60168	C₂	semidirect
3. #26923	C₂	semidirect
4. #26920	C₂	semidirect
5. #23521	C₂	semidirect
6. #23461	C₂	semidirect
8. #21078	C₂	semidirect
9. #21042	C₂	semidirect
10. C₂×#1887	C₂	semidirect
11. #20855	C₂	semidirect
18. #3081	C₂²	semidirect
20. #2949	C₂²	semidirect
21. #2948	C₂²	semidirect
35. #2046	C₂²	semidirect
36. #2045	C₂²	semidirect
37. #2028	C₂²	semidirect
38. #2027	C₂²	semidirect
41. #1931	C₂²	semidirect
42. #1922	C₂²	semidirect
44. #1857	C₂²	semidirect
45. #1856	C₂²	semidirect
97. #428	D₄	semidirect
98. #428	D₄	semidirect
233. #107	C₂×D₄	semidirect
235. #106	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60490	2
#60168	2
#26923	2
#26920	2
#23521	2
#23461	2
#23430	2
#21078	2
#21042	2
C₂×#1887	2
#20855	2