Subgroups — #644318

Order 512.

4394 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2641	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#16253	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#15144	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#14883	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#14136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#13753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	—	2	8	no	—
11	C₂×#533	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2856	—	2	8	no	—
22	#2641	—	2	16	no	—
23	C₂×#394	C₂²	1	16	yes	—
24	C₂×#393	C₂²	1	16	yes	—
25	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
31	#1441	C₂²	1	16	yes	—
32	#1439	C₂²	1	16	yes	—
33	#1438	C₂²	1	16	yes	—
34	#1437	C₂²	1	16	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
36	#1434	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#533	—	2	128	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×#127	—	2	4	no	—
49	C₂×#127	—	2	8	no	—
50	C₂×#125	—	2	8	no	—
51	C₂×#125	—	2	8	no	—
52	C₂×#125	D₄	1	16	yes	complemented
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
55	C₂×#121	—	2	16	no	—
56	C₂×#121	—	2	8	no	—
57	C₂×#121	—	2	16	no	—
58	C₂×#121	—	4	16	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
61	C₂×#117	—	2	8	no	—
62	C₂×#117	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#394	—	2	64	no	—
81	#393	—	4	32	no	—
82	#390	—	2	32	no	—
83	#390	—	2	16	no	—
84	#390	—	2	8	no	—
85	#384	—	2	4	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	#376	—	2	8	no	—
88	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
92	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
93	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
125	#127	—	4	16	no	—
126	#125	—	2	64	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
128	#121	—	4	64	no	—
129	#121	—	4	32	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
131	#117	—	2	64	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	#95	—	2	16	no	—
168	#95	—	2	8	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	—	4	32	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	16	no	—
179	C₂⁴	—	2	8	no	—
180	C₂⁴	—	2	16	no	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	32	no	—
191	C₂×D₄	—	4	16	no	—
192	C₂×D₄	—	4	16	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	32	no	—
197	C₂×D₄	—	8	32	no	—
198	C₂×D₄	—	8	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
224	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
246	C₄²	—	2	32	no	—
247	C₄²	—	2	16	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	4	16	no	—
250	C₄²	#120	1	16	yes	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	16	no	—
267	C₂³	—	4	32	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	32	no	—
270	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
276	C₂³	#585	1	4	yes	—
277	Q₈	—	4	64	no	—
278	D₄	—	8	32	no	—
279	D₄	—	8	32	no	—
280	D₄	—	8	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	32	no	—
291	C₂×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	32	no	—
293	C₂×C₄	—	4	32	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	16	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	16	no	—
305	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#548	1	16	yes	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	16	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	32	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	—	8	8	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#3449	1	2	yes	—
329	C₂²	#3455	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂×#548	1	4	yes	—
331	C₂²	#3488	1	8	yes	—
332	C₂²	#3508	1	4	yes	—
333	C₂²	#3547	1	8	yes	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	4	16	no	—
338	C₄	—	8	8	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	#2436	1	8	yes	—
341	C₂	—	4	4	no	—
342	C₂	—	16	4	no	—
343	C₂	#34637	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#2436	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#35250	1	2	yes	—
346	C₂	#35285	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#37634	1	2	yes	—
348	C₂	#37710	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#533	C₂	semidirect
3. C₂×#2641	C₂	semidirect
4. #16253	C₂	semidirect
5. #15144	C₂	semidirect
6. #14883	C₂	semidirect
7. #14283	C₂	semidirect
8. #14136	C₂	semidirect
9. #13753	C₂	semidirect
52. C₂×#125	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#2856	2
C₂×#2641	2
#16253	2
#15144	2
#14883	2
#14283	2
#14136	2
#13753	2