Subgroups — #6445415

Order 512.

2994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#60490	C₂	1	2	yes	maximal
3	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#24317	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#24313	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#23463	C₂	1	2	yes	maximal
8	#21330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#1888	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3502	—	2	16	no	—
13	#3502	—	2	4	no	—
14	#3502	C₂²	1	8	yes	complemented
15	#3458	—	2	4	no	—
16	#3458	C₂²	1	2	yes	—
17	#3458	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#3081	—	2	16	no	—
23	#3077	C₂²	1	16	yes	—
24	#2911	C₂²	1	4	yes	—
25	#2905	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
28	#2367	—	2	4	no	—
29	#2342	—	2	4	no	—
30	#2326	C₂²	1	4	yes	—
31	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2061	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#2060	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2027	C₂²	1	16	yes	—
39	#1995	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#1994	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1888	C₂²	1	8	yes	—
42	#1888	C₂²	1	8	yes	—
43	#1857	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1801	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1742	C₂²	1	2	yes	—
46	#1733	C₂²	1	4	yes	—
47	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	Q₈²	—	2	16	no	—
52	Q₈²	—	2	16	no	—
53	#557	—	2	32	no	—
54	#557	—	2	16	no	—
55	#557	—	2	16	no	—
56	#557	—	2	32	no	—
57	#544	—	2	32	no	—
58	#544	—	2	16	no	—
59	#544	—	2	8	no	—
60	#544	—	2	4	no	—
61	#544	D₄	1	16	yes	—
62	#544	C₂³	1	8	yes	—
63	#543	—	2	4	no	—
64	#543	—	2	4	no	—
65	#533	—	2	32	no	—
66	#533	—	2	8	no	—
67	#533	—	2	8	no	—
68	#533	—	2	16	no	—
69	#533	—	2	4	no	—
70	#533	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×#124	—	2	2	no	—
72	C₂×#124	—	2	4	no	—
73	C₂×#124	Q₈	1	8	yes	complemented
74	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
76	#519	—	2	4	no	—
77	#519	—	2	8	no	—
78	#519	—	2	8	no	—
79	#519	C₂³	1	8	yes	—
80	#518	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#117	—	2	4	no	—
87	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#478	—	2	32	no	—
97	#476	—	2	16	no	—
98	#474	—	2	16	no	—
99	#428	—	2	8	no	—
100	#428	C₂³	1	16	yes	—
101	#427	—	2	8	no	—
102	#424	—	2	8	no	—
103	#423	C₂³	1	8	yes	—
104	#418	—	2	8	no	—
105	#418	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×#102	—	2	8	no	—
107	C₂×#101	—	2	8	no	—
108	C₂×#101	C₂³	1	8	yes	—
109	#391	—	2	2	no	—
110	#391	C₂³	1	4	yes	—
111	#390	—	2	2	no	—
112	#390	C₂³	1	4	yes	—
113	#388	—	2	8	no	—
114	#388	—	2	8	no	—
115	#385	—	2	8	no	—
116	#384	C₂³	1	2	yes	—
117	#382	C₂³	1	2	yes	—
118	#381	—	2	2	no	—
119	#380	—	2	2	no	—
120	#379	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	#376	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
127	#343	C₂³	1	8	yes	—
128	#339	C₂³	1	8	yes	—
129	#339	C₂³	1	8	yes	—
130	#339	C₂³	1	16	yes	—
131	C₂⁵	—	2	1	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
136	C₂²×Q₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
160	#125	—	2	64	no	—
161	#125	—	2	32	no	—
162	#125	—	2	8	no	—
163	#125	—	2	16	no	—
164	#125	—	2	16	no	—
165	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	#124	—	2	16	no	—
167	#124	—	2	4	no	—
168	#124	—	2	4	no	—
169	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
170	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
183	C₄×D₄	—	2	16	no	—
184	C₄×D₄	—	4	8	no	—
185	#117	—	2	16	no	—
186	#117	—	2	16	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	16	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	2	4	no	—
193	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	#107	—	2	16	no	—
229	#106	—	2	16	no	—
230	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
231	#102	—	2	32	no	—
232	#101	—	2	16	no	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	C₂⁴	—	2	2	no	—
237	C₂⁴	—	2	4	no	—
238	C₂⁴	—	4	2	no	—
239	C₂⁴	—	4	2	no	—
240	C₂⁴	—	8	4	no	—
241	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
251	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
252	C₂×Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	16	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
273	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
283	M₁₆	—	2	8	no	—
284	M₁₆	—	2	8	no	—
285	M₁₆	—	4	8	no	—
286	C₂×C₈	—	2	8	no	—
287	C₂×C₈	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₄⋊C₄	#120	1	8	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	#120	1	8	yes	—
311	C₄²	—	2	32	no	—
312	C₄²	—	2	8	no	—
313	C₄²	—	2	16	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	8	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	8	4	no	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
323	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	8	8	no	—
332	C₂³	—	16	4	no	—
333	C₂³	—	16	4	no	—
334	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
336	C₂³	#536	1	2	yes	—
337	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	2	16	no	—
339	Q₈	—	2	8	no	—
340	Q₈	—	2	8	no	—
341	Q₈	—	8	16	no	—
342	Q₈	—	8	16	no	—
343	D₄	—	2	8	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	16	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	16	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	8	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	16	8	no	—
364	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#548	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
375	C₈	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	16	8	no	—
385	C₂²	#2409	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
389	C₄	—	2	8	no	—
390	C₄	—	2	8	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	4	16	no	—
395	C₄	—	8	2	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	#2409	1	4	yes	—
398	C₄	C₂×#548	1	2	yes	—
399	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	2	4	no	—
403	C₂	—	8	4	no	—
404	C₂	C₂×#2409	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#60390	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62849	C₂	semidirect
4. #24317	C₂	semidirect
5. #24313	C₂	semidirect
6. #23560	C₂	semidirect
8. #21330	C₂	semidirect
10. #20857	C₂	semidirect
11. #20639	C₂	semidirect
14. #3502	C₂²	semidirect
36. #2061	C₂²	semidirect
37. #2060	C₂²	semidirect
39. #1995	C₂²	semidirect
40. #1994	C₂²	semidirect
43. #1857	C₂²	semidirect
44. #1801	C₂²	semidirect
73. C₂×#124	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62849	2
#60490	2
#34211	2
#24317	2
#24313	2
#23560	2
#23463	2
#21330	2
C₂×#1888	2
#20857	2
#20639	2