Subgroups — #6445696

Order 512.

3310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3166	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#36625	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25819	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25815	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23553	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20844	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	—	2	2	no	—
12	C₂²×#125	—	2	4	no	—
13	C₂²×#125	—	2	16	no	—
14	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#125	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#125	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3166	—	2	16	no	—
22	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#499	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	#2857	C₂²	1	4	yes	—
28	#2855	—	2	2	no	—
29	#2851	C₂²	1	4	yes	—
30	#2848	—	2	2	no	—
31	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
32	#2296	C₂²	1	2	yes	—
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2280	C₂²	1	2	yes	—
35	#2059	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1853	C₂²	1	16	yes	—
39	#1852	C₂²	1	16	yes	—
40	#1749	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1736	C₂²	1	8	yes	—
43	#1728	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
45	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#533	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#125	—	2	32	no	—
51	C₂×#125	—	2	64	no	—
52	C₂×#125	—	2	32	no	—
53	C₂×#125	—	2	32	no	—
54	C₂×#125	—	2	16	no	—
55	C₂×#125	—	2	4	no	—
56	C₂×#125	—	2	8	no	—
57	C₂×#125	—	2	8	no	—
58	C₂×#125	—	2	4	no	—
59	C₂×#125	—	2	8	no	—
60	C₂×#125	D₄	1	16	yes	—
61	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#501	—	2	32	no	—
88	#499	—	2	32	no	—
89	#428	—	2	32	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
92	#407	Q₈	1	16	yes	complemented
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
94	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
95	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#391	—	2	4	no	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	C₂³	1	8	yes	—
100	#387	—	2	8	no	—
101	#385	—	2	8	no	—
102	#385	—	2	4	no	—
103	#384	C₂³	1	2	yes	—
104	#382	C₂³	1	2	yes	—
105	#381	—	2	2	no	—
106	#380	—	2	2	no	—
107	#380	—	2	4	no	—
108	#380	C₂³	1	8	yes	—
109	#379	—	2	2	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
113	#340	C₂³	1	32	yes	—
114	#336	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
139	#125	—	2	64	no	—
140	#125	—	2	64	no	—
141	#125	—	2	32	no	—
142	#125	—	2	32	no	—
143	#125	—	2	32	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	—	2	8	no	—
146	#125	—	2	8	no	—
147	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
148	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
152	#117	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#107	—	2	32	no	—
194	#106	—	2	32	no	—
195	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
196	#97	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	8	no	—
204	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
235	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	M₁₆	—	2	32	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄²	—	2	8	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	4	no	—
274	C₄²	#120	1	8	yes	—
275	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	16	no	—
279	C₂³	—	2	16	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
288	C₂³	#536	1	2	yes	—
289	C₂³	#575	1	8	yes	—
290	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	8	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	16	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	32	no	—
308	C₂×C₄	—	4	64	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	16	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
324	C₈	—	2	16	no	—
325	C₂²	—	2	32	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	#2434	1	4	yes	—
334	C₂²	#3166	1	8	yes	complemented
335	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	16	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	#2434	1	4	yes	—
347	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	4	yes	—
348	C₂	—	2	8	no	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	C₂×#2434	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#60359	1	2	yes	—
352	C₂	C₂×#3166	1	2	yes	—
353	C₂	#60861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3166	C₂	semidirect
4. #25819	C₂	semidirect
5. #25815	C₂	semidirect
6. #23553	C₂	semidirect
7. #21325	C₂	semidirect
22. C₂×#501	C₂²	semidirect
23. C₂×#499	C₂²	semidirect
35. #2059	C₂²	semidirect
36. #1992	C₂²	semidirect
37. #1991	C₂²	semidirect
92. #407	Q₈	semidirect
334. C₂²	#3166	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#125	2
C₂×#3166	2
#36625	2
#25819	2
#25815	2
#23553	2
#21325	2
#20844	2
C₄×#407	2