Subgroups — #6445698

Order 512.

3266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3165	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#36625	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25817	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25812	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23553	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20845	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	—	2	4	no	—
11	C₂×#533	—	2	16	no	—
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
18	C₂²×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3165	—	2	16	no	—
22	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#498	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	#2857	C₂²	1	4	yes	—
29	#2855	—	2	2	no	—
30	#2851	C₂²	1	4	yes	—
31	#2848	—	2	2	no	—
32	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	#2296	C₂²	1	2	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2280	C₂²	1	2	yes	—
36	#2059	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1993	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1990	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1854	C₂²	1	32	yes	—
40	#1749	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1736	C₂²	1	8	yes	—
43	#1728	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#533	—	2	64	no	—
49	#533	—	2	32	no	—
50	#533	—	2	32	no	—
51	#533	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#125	—	2	16	no	—
60	C₂×#125	—	2	4	no	—
61	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×#117	—	2	4	no	—
73	C₂×#117	—	2	16	no	—
74	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#501	—	2	32	no	—
90	#500	—	2	16	no	—
91	#498	—	2	16	no	—
92	#428	—	2	32	no	—
93	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
95	#407	Q₈	1	16	yes	complemented
96	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	#391	—	2	4	no	—
101	#389	—	2	4	no	—
102	#389	C₂³	1	8	yes	—
103	#387	—	2	8	no	—
104	#385	—	2	8	no	—
105	#385	—	2	4	no	—
106	#384	C₂³	1	2	yes	—
107	#382	C₂³	1	2	yes	—
108	#381	—	2	2	no	—
109	#380	—	2	2	no	—
110	#380	—	2	4	no	—
111	#380	C₂³	1	8	yes	—
112	#379	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
116	#340	C₂³	1	32	yes	—
117	#336	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
149	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
150	#125	—	2	32	no	—
151	#125	—	2	32	no	—
152	#125	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	#117	—	2	32	no	—
161	#117	—	2	32	no	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	2	32	no	—
202	#106	—	2	32	no	—
203	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
204	#97	—	2	8	no	—
205	C₄×C₈	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	C₂⁴	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	M₁₆	—	2	32	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄²	—	2	32	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	#120	1	8	yes	—
286	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂³	#536	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	32	no	—
303	Q₈	—	4	32	no	—
304	Q₈	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	16	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	32	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	16	yes	—
332	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
336	C₈	—	2	16	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	4	16	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	#2434	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	4	16	no	—
355	C₄	—	8	4	no	—
356	C₄	—	8	4	no	—
357	C₄	#2434	1	4	yes	—
358	C₄	#3005	1	8	yes	—
359	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	4	yes	—
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	C₂×#2434	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#3005	1	2	yes	—
364	C₂	#60663	1	2	yes	—
365	C₂	#60862	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3165	C₂	semidirect
4. #25817	C₂	semidirect
5. #25812	C₂	semidirect
6. #23553	C₂	semidirect
7. #21324	C₂	semidirect
22. C₂×#501	C₂²	semidirect
23. C₂×#500	C₂²	semidirect
24. C₂×#498	C₂²	semidirect
36. #2059	C₂²	semidirect
37. #1993	C₂²	semidirect
38. #1990	C₂²	semidirect
95. #407	Q₈	semidirect
203. C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#3165	2
#36625	2
#25817	2
#25812	2
#23553	2
#21324	2
#20845	2
C₄×#407	2