Subgroups — #6447632

Order 512.

3508 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25913	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#25912	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#25907	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23453	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	—	2	2	no	—
13	C₂²×#125	—	2	4	no	—
14	C₂²×#125	—	2	16	no	—
15	C₂²×#125	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#125	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3142	—	2	16	no	—
24	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	#2857	C₂²	1	2	yes	—
31	#2856	C₂²	1	2	yes	—
32	#2854	—	2	2	no	—
33	#2850	C₂²	1	4	yes	—
34	#2847	—	2	2	no	—
35	C₄×#121	—	2	4	no	—
36	#2297	C₂²	1	2	yes	—
37	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2026	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2025	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1874	C₂²	1	16	yes	—
43	#1872	C₂²	1	16	yes	—
44	#1749	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
46	#1736	C₂²	1	8	yes	—
47	#1728	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	#532	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#125	—	2	32	no	—
57	C₂×#125	—	2	64	no	—
58	C₂×#125	—	2	32	no	—
59	C₂×#125	—	2	32	no	—
60	C₂×#125	—	2	16	no	—
61	C₂×#125	—	2	4	no	—
62	C₂×#125	—	2	8	no	—
63	C₂×#125	—	2	8	no	—
64	C₂×#125	—	2	4	no	—
65	C₂×#125	—	2	8	no	—
66	C₂×#125	D₄	1	16	yes	complemented
67	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
71	#525	—	2	16	no	—
72	C₂×#123	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#121	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	—	2	4	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#120	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#491	—	2	16	no	—
99	#490	—	2	16	no	—
100	#488	—	2	32	no	—
101	#417	—	2	32	no	—
102	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
104	#407	—	2	8	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
106	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
107	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
109	#391	C₂³	1	4	yes	—
110	#390	—	2	4	no	—
111	#390	C₂³	1	4	yes	—
112	#389	—	2	4	no	—
113	#388	—	2	8	no	—
114	#386	—	2	8	no	—
115	#386	—	2	4	no	—
116	#384	C₂³	1	2	yes	—
117	#382	C₂³	1	2	yes	—
118	#380	—	2	2	no	—
119	#380	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	#340	C₂³	1	32	yes	—
123	#336	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×#41	—	2	8	no	—
126	C₂×#41	—	2	8	no	—
127	C₂×#41	—	2	8	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	#127	—	2	4	no	—
157	#125	—	2	64	no	—
158	#125	—	2	64	no	—
159	#125	—	2	32	no	—
160	#125	—	2	32	no	—
161	#125	—	2	32	no	—
162	#125	—	2	8	no	—
163	#125	—	2	8	no	—
164	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
165	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	#124	—	2	8	no	—
167	#123	—	4	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
169	#121	—	2	16	no	—
170	#121	—	4	16	no	—
171	#121	—	4	8	no	—
172	#120	—	4	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	16	no	—
174	C₄×D₄	—	4	8	no	—
175	#117	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	#103	—	2	32	no	—
215	#102	—	2	32	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
217	#97	—	2	8	no	—
218	C₄×C₈	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	—	2	2	no	—
223	C₂⁴	—	2	8	no	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	#41	—	4	32	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
284	M₁₆	—	4	16	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	2	8	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄²	—	2	8	no	—
305	C₄²	—	2	8	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	4	4	no	—
309	C₄²	#120	1	8	yes	—
310	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
312	C₂³	—	2	16	no	—
313	C₂³	—	2	16	no	—
314	C₂³	—	2	16	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	8	no	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	2	4	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
325	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
326	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
327	C₂³	#536	1	2	yes	—
328	C₂³	#575	1	8	yes	—
329	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	4	8	no	—
331	D₄	—	4	8	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	8	16	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	16	no	—
341	C₂×C₄	—	2	16	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	16	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	16	no	—
348	C₂×C₄	—	4	16	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	32	no	—
351	C₂×C₄	—	4	64	no	—
352	C₂×C₄	—	4	16	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#548	1	16	yes	—
366	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
369	C₈	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	2	32	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	8	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	#2436	1	4	yes	—
383	C₂²	#3142	1	8	yes	complemented
384	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
388	C₄	—	2	4	no	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	4	16	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	#2436	1	4	yes	—
396	C₄	C₂×#548	1	4	yes	—
397	C₂	—	2	8	no	—
398	C₂	—	2	4	no	—
399	C₂	—	16	2	no	—
400	C₂	C₂×#2436	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#60359	1	2	yes	—
402	C₂	C₂×#3142	1	2	yes	—
403	C₂	#60861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#125	C₂	semidirect
2. C₂×#3142	C₂	semidirect
4. #25913	C₂	semidirect
5. #25912	C₂	semidirect
6. #25907	C₂	semidirect
7. #23453	C₂	semidirect
8. #21325	C₂	semidirect
9. #20909	C₂	semidirect
10. C₄×#407	C₂	semidirect
24. C₂×#491	C₂²	semidirect
25. C₂×#490	C₂²	semidirect
26. C₂×#488	C₂²	semidirect
38. #2026	C₂²	semidirect
39. #2025	C₂²	semidirect
40. #1992	C₂²	semidirect
41. #1991	C₂²	semidirect
66. C₂×#125	D₄	semidirect
383. C₂²	#3142	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#125	2
C₂×#3142	2
#36624	2
#25913	2
#25912	2
#25907	2
#23453	2
#21325	2
#20909	2
C₄×#407	2