Subgroups — #6447633

Order 512.

3464 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#25910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#25906	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23452	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#533	—	2	4	no	—
12	C₂×#533	—	2	16	no	—
13	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
21	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3142	—	2	16	no	—
24	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	#2857	C₂²	1	2	yes	—
31	#2856	C₂²	1	2	yes	—
32	#2854	—	2	2	no	—
33	#2850	C₂²	1	4	yes	—
34	#2847	—	2	2	no	—
35	C₄×#121	—	2	4	no	—
36	#2297	C₂²	1	2	yes	—
37	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2024	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2023	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1875	C₂²	1	16	yes	—
43	#1873	C₂²	1	16	yes	—
44	#1749	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
46	#1736	C₂²	1	8	yes	—
47	#1728	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	#533	—	2	64	no	—
54	#533	—	2	32	no	—
55	#533	—	2	32	no	—
56	#532	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#125	—	2	4	no	—
63	C₂×#125	—	2	8	no	—
64	C₂×#125	D₄	1	16	yes	complemented
65	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
68	#525	—	2	16	no	—
69	C₂×#123	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#121	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	—	2	4	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#120	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂×#117	—	2	4	no	—
84	C₂×#117	—	2	16	no	—
85	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#491	—	2	16	no	—
100	#490	—	2	16	no	—
101	#488	—	2	32	no	—
102	#417	—	2	32	no	—
103	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
105	#407	—	2	8	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
107	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#391	C₂³	1	4	yes	—
111	#390	—	2	4	no	—
112	#390	C₂³	1	4	yes	—
113	#389	—	2	4	no	—
114	#388	—	2	8	no	—
115	#386	—	2	8	no	—
116	#386	—	2	4	no	—
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#382	C₂³	1	2	yes	—
119	#380	—	2	2	no	—
120	#380	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	#340	C₂³	1	32	yes	—
124	#336	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×#41	—	2	8	no	—
127	C₂×#41	—	2	8	no	—
128	C₂×#41	—	2	8	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	#127	—	2	4	no	—
160	#125	—	2	32	no	—
161	#125	—	2	8	no	—
162	#125	—	2	8	no	—
163	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
164	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
165	#124	—	2	8	no	—
166	#123	—	4	8	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
170	#121	—	2	16	no	—
171	#121	—	4	16	no	—
172	#121	—	4	8	no	—
173	#120	—	4	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
176	C₄×D₄	—	4	16	no	—
177	C₄×D₄	—	4	8	no	—
178	#117	—	2	32	no	—
179	#117	—	2	32	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	#103	—	2	32	no	—
218	#102	—	2	32	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
220	#97	—	2	8	no	—
221	C₄×C₈	—	2	8	no	—
222	#95	—	2	8	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	4	32	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	16	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
275	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	4	16	no	—
288	C₂×C₈	—	2	8	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
307	C₄²	—	2	32	no	—
308	C₄²	—	2	8	no	—
309	C₄²	—	2	8	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	4	4	no	—
313	C₄²	#120	1	8	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
315	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
316	C₂³	—	2	4	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	8	no	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	2	4	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	—	4	8	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
331	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
332	C₂³	#536	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	4	64	no	—
335	Q₈	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	16	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	16	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	16	no	—
349	C₂×C₄	—	2	16	no	—
350	C₂×C₄	—	2	16	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	16	no	—
353	C₂×C₄	—	4	16	no	—
354	C₂×C₄	—	4	32	no	—
355	C₂×C₄	—	4	16	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	8	8	no	—
362	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#548	1	16	yes	—
369	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
373	C₈	—	4	8	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	4	16	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	#2436	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	8	no	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	4	16	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	#2436	1	4	yes	—
400	C₄	C₂×#548	1	4	yes	—
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	4	4	no	—
403	C₂	—	16	2	no	—
404	C₂	C₂×#2436	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#60359	1	2	yes	—
406	C₂	#60618	1	2	yes	—
407	C₂	#60863	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#533	C₂	semidirect
2. C₂×#3142	C₂	semidirect
4. #25911	C₂	semidirect
5. #25910	C₂	semidirect
6. #25906	C₂	semidirect
7. #23452	C₂	semidirect
8. #21325	C₂	semidirect
9. #20910	C₂	semidirect
10. C₄×#407	C₂	semidirect
24. C₂×#491	C₂²	semidirect
25. C₂×#490	C₂²	semidirect
26. C₂×#488	C₂²	semidirect
38. #2024	C₂²	semidirect
39. #2023	C₂²	semidirect
40. #1992	C₂²	semidirect
41. #1991	C₂²	semidirect
64. C₂×#125	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#3142	2
#36624	2
#25911	2
#25910	2
#25906	2
#23452	2
#21325	2
#20910	2
C₄×#407	2