Subgroups — #6447641

Order 512.

3406 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25915	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#23454	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20912	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20377	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3458	—	2	16	no	—
10	C₂×#544	—	2	2	no	—
11	C₂×#544	C₂²	1	8	yes	complemented
12	C₂×#543	—	2	2	no	—
13	C₂×#533	—	2	4	no	—
14	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3138	—	2	16	no	—
21	C₂×#490	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#486	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#2619	—	2	4	no	—
27	#2619	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#394	—	2	2	no	—
29	C₂×#392	—	2	2	no	—
30	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2025	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#2023	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1993	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1875	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1874	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1750	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1736	C₂²	1	8	yes	—
40	#1728	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	#544	—	2	32	no	—
47	#544	—	2	32	no	—
48	#544	—	2	32	no	—
49	#543	—	2	32	no	—
50	#533	—	2	64	no	—
51	#533	—	2	16	no	—
52	#533	—	2	8	no	—
53	#533	D₄	1	16	yes	complemented
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#127	—	2	8	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#125	—	2	8	no	—
61	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	16	no	—
69	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂×#117	—	2	2	no	—
73	C₂×#117	—	2	2	no	—
74	C₂×#117	—	2	16	no	—
75	C₂×#117	—	2	8	no	—
76	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#490	—	2	32	no	—
91	#486	—	2	32	no	—
92	#418	—	2	32	no	—
93	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
94	#407	—	2	8	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	#394	—	2	16	no	—
100	#392	—	2	16	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	C₂³	1	8	yes	—
103	#382	—	2	2	no	—
104	#382	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#95	—	2	2	no	—
106	#340	C₂³	1	32	yes	—
107	#336	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂⁵	—	2	2	no	—
109	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
122	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
142	#127	—	2	8	no	—
143	#127	—	2	8	no	—
144	#127	—	4	8	no	—
145	#125	—	2	64	no	—
146	#125	—	2	16	no	—
147	#125	—	2	8	no	—
148	#125	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
149	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
153	#121	—	2	32	no	—
154	#121	—	4	16	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
157	#117	—	2	16	no	—
158	#117	—	2	16	no	—
159	#117	—	2	8	no	—
160	#117	—	2	16	no	—
161	#117	—	2	16	no	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
195	#102	—	2	64	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
197	#97	—	2	8	no	—
198	C₄×C₈	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
214	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	32	no	—
225	C₂×D₄	—	8	16	no	—
226	C₂×D₄	—	8	16	no	—
227	C₂×D₄	—	8	32	no	—
228	C₂×D₄	—	8	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	M₁₆	—	4	16	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
276	C₄²	—	2	16	no	—
277	C₄²	—	2	16	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	#120	1	8	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	—	8	16	no	—
299	C₂³	—	8	8	no	—
300	C₂³	—	8	8	no	—
301	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
304	C₂³	#536	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	8	16	no	—
307	Q₈	—	8	16	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	8	32	no	—
310	D₄	—	8	32	no	—
311	D₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	16	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#548	1	16	yes	—
334	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	8	8	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	8	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	8	8	no	—
351	C₂²	—	16	16	no	—
352	C₂²	#2436	1	4	yes	—
353	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#3585	1	4	yes	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	8	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	16	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	#2436	1	4	yes	—
363	C₄	C₂×#548	1	4	yes	—
364	C₂	—	2	4	no	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	16	4	no	—
367	C₂	C₂×#2436	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60369	1	2	yes	—
369	C₂	#60619	1	2	yes	—
370	C₂	#60868	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#2619	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3458	C₂	semidirect
2. C₂×#3138	C₂	semidirect
4. #25915	C₂	semidirect
5. #23454	C₂	semidirect
6. #21323	C₂	semidirect
7. #20912	C₂	semidirect
8. #20377	C₂	semidirect
11. C₂×#544	C₂²	semidirect
21. C₂×#490	C₂²	semidirect
22. C₂×#486	C₂²	semidirect
32. #2025	C₂²	semidirect
33. #2023	C₂²	semidirect
34. #1993	C₂²	semidirect
35. #1991	C₂²	semidirect
36. #1875	C₂²	semidirect
37. #1874	C₂²	semidirect
38. #1750	C₂²	semidirect
53. #533	D₄	semidirect
141. C₄⋊Q₈	C₂×D₄	semidirect
148. #125	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3458	2
C₂×#3138	2
C₂×#2619	2
#25915	2
#23454	2
#21323	2
#20912	2
#20377	2