Subgroups — #6457272

Order 512.

2716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#27919	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27918	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#27912	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23733	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20801	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3092	—	2	32	no	—
16	C₂×#484	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#481	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#483	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#480	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	#2857	C₂²	1	2	yes	—
25	#2856	C₂²	1	2	yes	—
26	#2854	—	2	2	no	—
27	#2850	C₂²	1	4	yes	—
28	#2847	—	2	2	no	—
29	C₄×#121	—	2	4	no	—
30	#2297	C₂²	1	2	yes	—
31	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#382	—	2	2	no	—
33	C₂×#382	—	2	4	no	—
34	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#95	—	2	2	no	—
39	#2097	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#2092	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1961	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1960	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1958	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#1847	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1846	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1749	C₂²	1	4	yes	—
47	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
48	#1728	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
51	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	#532	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
58	#525	—	2	16	no	—
59	C₂×#123	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	4	no	—
63	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#120	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#484	—	2	32	no	—
83	#483	—	2	32	no	—
84	#481	—	2	32	no	—
85	#480	—	2	32	no	—
86	#428	—	2	32	no	—
87	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
89	#417	—	2	32	no	—
90	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
92	#407	D₄	1	16	yes	complemented
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
94	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
95	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#391	C₂³	1	4	yes	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	C₂³	1	4	yes	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#388	—	2	8	no	—
102	#386	—	2	8	no	—
103	#386	—	2	4	no	—
104	#384	C₂³	1	2	yes	—
105	#382	—	2	4	no	—
106	#382	—	2	8	no	—
107	#382	—	2	8	no	—
108	#382	—	2	4	no	—
109	#382	C₂³	1	2	yes	—
110	#382	C₂³	1	8	yes	—
111	#382	C₂³	1	4	yes	—
112	#382	C₂³	1	4	yes	—
113	#380	—	2	2	no	—
114	#380	—	2	4	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×#95	—	2	8	no	—
118	C₂×#95	—	2	8	no	—
119	C₂×#95	—	2	4	no	—
120	C₂×#95	—	2	4	no	—
121	#336	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×#41	—	2	8	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂×#41	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	4	no	—
156	#124	—	2	8	no	—
157	#123	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
160	#121	—	2	8	no	—
161	#121	—	2	8	no	—
162	#121	—	4	16	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#120	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	16	no	—
166	C₄×D₄	—	4	8	no	—
167	#117	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	2	32	no	—
202	#106	—	2	32	no	—
203	#103	—	2	32	no	—
204	#102	—	2	32	no	—
205	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
206	#97	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	8	no	—
208	#95	—	2	16	no	—
209	#95	—	2	8	no	—
210	#95	—	2	8	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	—	2	8	no	—
216	C₂⁴	—	2	2	no	—
217	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	#41	—	4	32	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
264	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	M₁₆	—	2	32	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄²	—	2	8	no	—
296	C₄²	—	2	8	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	4	4	no	—
300	C₄²	#123	1	8	yes	—
301	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
303	C₂³	—	2	16	no	—
304	C₂³	—	2	16	no	—
305	C₂³	—	2	16	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	8	no	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
317	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
318	C₂³	#536	1	2	yes	—
319	C₂³	#575	1	8	yes	—
320	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	8	8	no	—
324	D₄	—	8	16	no	—
325	D₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	16	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	16	no	—
338	C₂×C₄	—	4	16	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	16	no	—
347	C₂×C₄	—	8	16	no	—
348	C₂×C₄	—	8	16	no	—
349	C₂×C₄	—	8	16	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#547	1	16	yes	—
358	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
361	C₈	—	2	16	no	—
362	C₂²	—	2	32	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	#2501	1	4	yes	—
375	C₂²	#3153	1	8	yes	—
376	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	8	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	#2501	1	4	yes	—
388	C₄	C₂×#547	1	4	yes	—
389	C₂	—	2	8	no	—
390	C₂	—	2	4	no	—
391	C₂	—	16	2	no	—
392	C₂	C₂×#2501	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#60511	1	2	yes	—
394	C₂	C₂×#3153	1	2	yes	—
395	C₂	#60861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3092	C₂	semidirect
3. C₂²×#382	C₂	semidirect
4. #27919	C₂	semidirect
5. #27918	C₂	semidirect
6. #27912	C₂	semidirect
7. #23733	C₂	semidirect
8. #21201	C₂	semidirect
9. #20801	C₂	semidirect
10. C₄×#407	C₂	semidirect
39. #2097	C₂²	semidirect
40. #2092	C₂²	semidirect
41. #1961	C₂²	semidirect
42. #1960	C₂²	semidirect
43. #1958	C₂²	semidirect
44. #1847	C₂²	semidirect
45. #1846	C₂²	semidirect
92. #407	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3092	2
#36624	2
C₂²×#382	2
#27919	2
#27918	2
#27912	2
#23733	2
#21201	2
#20801	2
C₄×#407	2