Subgroups — #6457274

Order 512.

2608 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3093	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#27915	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#27908	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#27907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23733	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3093	—	2	32	no	—
16	C₂×#485	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂×#482	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#2857	C₂²	1	2	yes	—
23	#2856	C₂²	1	2	yes	—
24	#2854	—	2	2	no	—
25	#2850	C₂²	1	4	yes	—
26	#2847	—	2	2	no	—
27	C₄×#121	—	2	4	no	—
28	#2297	C₂²	1	2	yes	—
29	#2285	—	2	4	no	—
30	#2285	C₂²	1	4	yes	—
31	#2285	C₂²	1	4	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#380	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
37	#2097	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#2092	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1959	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1847	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#1845	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1844	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1749	C₂²	1	4	yes	—
46	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
47	#1728	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	#532	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
56	#525	—	2	16	no	—
57	C₂×#123	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	4	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#120	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	—	2	4	no	—
66	C₂×#117	—	2	16	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#485	—	2	64	no	—
81	#482	—	2	64	no	—
82	#428	—	2	32	no	—
83	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
85	#417	—	2	32	no	—
86	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
88	#407	D₄	1	16	yes	complemented
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
90	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
91	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	#391	C₂³	1	4	yes	—
94	#390	—	2	4	no	—
95	#390	C₂³	1	4	yes	—
96	#389	—	2	4	no	—
97	#388	—	2	8	no	—
98	#386	—	2	8	no	—
99	#386	—	2	4	no	—
100	#384	—	2	4	no	—
101	#384	C₂³	1	2	yes	—
102	#384	C₂³	1	4	yes	—
103	#384	C₂³	1	4	yes	—
104	#382	—	2	4	no	—
105	#382	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	C₂³	1	8	yes	—
107	#380	—	2	2	no	—
108	#380	—	2	4	no	—
109	#380	—	2	8	no	—
110	#380	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×#95	—	2	4	no	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	2	8	no	—
120	C₂×#41	—	2	8	no	—
121	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#124	—	2	8	no	—
148	#123	—	4	8	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
150	#121	—	2	16	no	—
151	#121	—	4	16	no	—
152	#121	—	4	8	no	—
153	#120	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	4	16	no	—
155	C₄×D₄	—	4	8	no	—
156	#117	—	2	32	no	—
157	#117	—	2	8	no	—
158	#117	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	#107	—	2	32	no	—
193	#106	—	2	32	no	—
194	#103	—	2	32	no	—
195	#102	—	2	32	no	—
196	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
197	#97	—	2	8	no	—
198	C₄×C₈	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	16	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	#95	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	4	no	—
206	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	32	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	M₁₆	—	2	32	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	16	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	#123	1	8	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
304	C₂³	#536	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	8	16	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	8	16	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#547	1	16	yes	—
340	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
344	C₈	—	2	16	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	2	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	#2501	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	8	2	no	—
367	C₄	—	8	8	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	#2501	1	4	yes	—
370	C₄	#3093	1	8	yes	complemented
371	C₄	C₂×#547	1	4	yes	—
372	C₂	—	2	4	no	—
373	C₂	—	4	4	no	—
374	C₂	—	16	2	no	—
375	C₂	C₂×#2501	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#3093	1	2	yes	—
377	C₂	#60639	1	2	yes	—
378	C₂	#60862	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3093	C₂	semidirect
3. C₂×#2285	C₂	semidirect
4. #27915	C₂	semidirect
5. #27908	C₂	semidirect
6. #27907	C₂	semidirect
7. #23733	C₂	semidirect
8. #21200	C₂	semidirect
9. #20800	C₂	semidirect
10. C₄×#407	C₂	semidirect
37. #2097	C₂²	semidirect
38. #2092	C₂²	semidirect
39. #1959	C₂²	semidirect
40. #1957	C₂²	semidirect
41. #1956	C₂²	semidirect
42. #1847	C₂²	semidirect
43. #1845	C₂²	semidirect
44. #1844	C₂²	semidirect
88. #407	D₄	semidirect
370. C₄	#3093	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3093	2
#36624	2
C₂×#2285	2
#27915	2
#27908	2
#27907	2
#23733	2
#21200	2
#20800	2
C₄×#407	2