Subgroups — #6457908

Order 512.

1564 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35629	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28023	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#28022	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28011	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23611	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#21229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#21224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#21157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#21067	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#20454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#20435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2514	C₂²	1	8	yes	—
28	#2513	C₂²	1	8	yes	—
29	#2510	—	2	8	no	—
30	#2495	—	2	4	no	—
31	#2494	—	2	4	no	—
32	#2316	C₂²	1	2	yes	—
33	#2311	C₂²	1	2	yes	—
34	#2311	C₂²	1	2	yes	—
35	#2297	C₂²	1	2	yes	—
36	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
38	#2274	C₂²	1	2	yes	—
39	#2074	C₂²	1	8	yes	—
40	#2073	C₂²	1	8	yes	—
41	#2068	C₂²	1	8	yes	—
42	#2067	C₂²	1	8	yes	—
43	#1972	C₂²	1	2	yes	—
44	#1972	C₂²	1	2	yes	—
45	#1971	C₂²	1	2	yes	—
46	#1971	C₂²	1	2	yes	—
47	#1970	C₂²	1	2	yes	—
48	#1969	C₂²	1	2	yes	—
49	#1968	C₂²	1	4	yes	—
50	#1968	C₂²	1	4	yes	—
51	#1968	C₂²	1	4	yes	—
52	#1944	C₂²	1	4	yes	—
53	#1941	C₂²	1	4	yes	—
54	#1928	C₂²	1	8	yes	—
55	#1925	C₂²	1	8	yes	—
56	#1846	C₂²	1	4	yes	—
57	#1846	C₂²	1	4	yes	—
58	#1776	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
60	#1771	C₂²	1	4	yes	—
61	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
62	#1736	C₂²	1	2	yes	—
63	#1736	C₂²	1	2	yes	—
64	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#135	—	2	4	no	—
68	C₂×#135	—	2	4	no	—
69	C₂×#135	—	2	4	no	—
70	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#427	—	2	4	no	—
84	C₂×#107	—	4	4	no	—
85	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#106	—	2	4	no	—
88	C₂×#106	—	2	4	no	—
89	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
94	#424	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	#417	—	4	4	no	—
97	#417	—	4	4	no	—
98	#416	—	2	8	no	—
99	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
105	#405	—	2	4	no	—
106	#405	—	2	4	no	—
107	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#401	—	2	8	no	—
115	#400	—	2	8	no	—
116	#397	—	2	8	no	—
117	#397	—	2	8	no	—
118	#391	C₂³	1	4	yes	—
119	#391	C₂³	1	4	yes	—
120	#391	C₂³	1	4	yes	—
121	#390	C₂³	1	4	yes	—
122	#390	C₂³	1	4	yes	—
123	#390	C₂³	1	4	yes	—
124	#389	—	2	4	no	—
125	#389	D₄	1	4	yes	—
126	#389	C₂³	1	8	yes	—
127	#388	—	2	8	no	—
128	#388	—	2	8	no	—
129	#387	—	2	8	no	—
130	#386	—	2	4	no	—
131	#386	—	2	4	no	—
132	#386	—	2	4	no	—
133	#385	D₄	1	4	yes	—
134	#383	—	2	8	no	—
135	#382	—	2	2	no	—
136	#382	—	2	2	no	—
137	#382	C₂³	1	8	yes	—
138	#380	—	2	4	no	—
139	#380	—	2	4	no	—
140	#380	—	2	4	no	—
141	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
143	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×#95	—	2	4	no	—
148	#340	C₂³	1	8	yes	—
149	#340	C₂³	1	8	yes	—
150	#336	C₂³	1	4	yes	—
151	#336	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×#41	—	2	4	no	—
153	C₂×#41	—	2	4	no	—
154	C₂×#41	—	2	4	no	—
155	C₂×#41	—	2	4	no	—
156	C₂×#41	—	2	4	no	—
157	C₂×#41	—	2	4	no	—
158	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#135	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
173	C₂×D₈	—	2	2	no	—
174	C₂×D₈	—	2	2	no	—
175	C₂×D₈	—	2	2	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
185	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
186	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
187	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
227	#107	—	2	4	no	—
228	#107	—	4	8	no	—
229	#106	—	2	4	no	—
230	#106	—	2	4	no	—
231	#106	—	2	4	no	—
232	#106	—	2	4	no	—
233	#106	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
235	#103	—	2	8	no	—
236	#103	—	4	4	no	—
237	#103	—	4	4	no	—
238	#102	—	2	8	no	—
239	#102	—	4	4	no	—
240	#102	—	4	4	no	—
241	#97	—	2	4	no	—
242	#97	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	2	4	no	—
244	C₄×C₈	—	2	4	no	—
245	C₄×C₈	—	2	4	no	—
246	C₄×C₈	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	8	no	—
248	#95	—	2	8	no	—
249	#95	—	2	8	no	—
250	#95	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	4	no	—
252	#95	—	2	8	no	—
253	#95	—	2	8	no	—
254	#95	—	2	8	no	—
255	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
256	C₂⁴	—	2	2	no	—
257	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	#41	—	4	8	no	—
259	#41	—	4	8	no	—
260	#41	—	4	8	no	—
261	#41	—	4	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	2	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
301	Q₁₆	—	4	4	no	—
302	SD₁₆	—	4	8	no	—
303	D₈	—	4	4	no	—
304	M₁₆	—	4	4	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	8	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	#126	1	16	yes	—
316	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
317	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
342	C₄²	—	2	4	no	—
343	C₄²	—	2	2	no	—
344	C₄²	—	2	2	no	—
345	C₄²	—	2	2	no	—
346	C₄²	—	2	2	no	—
347	C₄²	—	2	2	no	—
348	C₄²	—	2	2	no	—
349	C₄²	—	4	4	no	—
350	C₄²	—	8	8	no	—
351	C₂³	—	2	4	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	4	4	no	—
354	C₂³	—	4	2	no	—
355	C₂³	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	#532	1	2	yes	—
358	C₂³	#547	1	2	yes	—
359	C₂³	#550	1	2	yes	—
360	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	Q₈	—	4	2	no	—
362	Q₈	—	4	2	no	—
363	Q₈	—	4	2	no	—
364	Q₈	—	4	2	no	—
365	D₄	—	4	2	no	—
366	D₄	—	4	2	no	—
367	D₄	—	4	2	no	—
368	D₄	—	4	2	no	—
369	D₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	2	8	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	8	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	8	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	8	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	8	8	no	—
389	C₂×C₄	—	16	4	no	—
390	C₂×C₄	—	16	4	no	—
391	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
398	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
404	C₈	—	2	4	no	—
405	C₈	—	4	2	no	—
406	C₈	—	4	2	no	—
407	C₈	C₂×#126	1	4	yes	—
408	C₈	C₂×#126	1	4	yes	—
409	C₂²	—	2	4	no	—
410	C₂²	—	2	4	no	—
411	C₂²	—	2	4	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	8	4	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	2	no	—
416	C₂²	—	8	2	no	—
417	C₂²	#2512	1	4	yes	—
418	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#3584	1	4	yes	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	4	4	no	—
425	C₄	—	8	4	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	#2512	1	4	yes	—
430	C₄	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
431	C₄	C₂×#542	1	1	yes	characteristic
432	C₄	C₂×#553	1	1	yes	characteristic
433	C₄	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
434	C₂	—	2	4	no	—
435	C₂	—	16	2	no	—
436	C₂	C₂×#2512	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#60717	1	2	yes	—
438	C₂	#61260	1	2	yes	—
439	C₂	#61412	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2296 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35629	C₂	semidirect
2. #28023	C₂	semidirect
3. #28022	C₂	semidirect
4. #28011	C₂	semidirect
5. #23631	C₂	semidirect
6. #23611	C₂	semidirect
10. #21157	C₂	semidirect
11. #21067	C₂	semidirect
12. C₂×#1846	C₂	semidirect
13. #20454	C₂	semidirect
14. #20435	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35629	2
#28023	2
#28022	2
#28011	2
#23631	2
#23611	2
#21229	2
#21224	2
#21157	2
#21067	2
C₂×#1846	2
#20454	2
#20435	2