Subgroups — #6457916

Order 512.

1518 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35630	C₂	1	2	yes	maximal
2	#28028	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#28016	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#23629	C₂	1	2	yes	maximal
5	#23613	C₂	1	2	yes	maximal
6	#21232	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#21232	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#21155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#21066	C₂	1	2	yes	maximal
11	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#20454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#20436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2514	—	2	4	no	—
27	#2514	C₂²	1	8	yes	—
28	#2511	—	2	4	no	—
29	#2511	C₂²	1	8	yes	—
30	#2493	—	2	8	no	—
31	#2317	C₂²	1	2	yes	—
32	#2310	C₂²	1	2	yes	—
33	#2310	C₂²	1	2	yes	—
34	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
36	#2285	C₂²	1	2	yes	—
37	#2274	C₂²	1	2	yes	—
38	#2074	C₂²	1	8	yes	—
39	#2072	C₂²	1	8	yes	—
40	#2068	C₂²	1	8	yes	—
41	#2066	C₂²	1	8	yes	—
42	#1971	C₂²	1	4	yes	—
43	#1971	C₂²	1	4	yes	—
44	#1971	C₂²	1	4	yes	—
45	#1971	C₂²	1	4	yes	—
46	#1969	C₂²	1	4	yes	—
47	#1969	C₂²	1	4	yes	—
48	#1943	C₂²	1	4	yes	—
49	#1941	C₂²	1	4	yes	—
50	#1928	C₂²	1	8	yes	—
51	#1927	C₂²	1	8	yes	—
52	#1847	C₂²	1	4	yes	—
53	#1847	C₂²	1	4	yes	—
54	#1776	C₂²	1	4	yes	—
55	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
56	#1771	C₂²	1	4	yes	—
57	#1770	C₂²	1	4	yes	—
58	#1736	C₂²	1	2	yes	—
59	#1736	C₂²	1	2	yes	—
60	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#427	—	2	4	no	—
79	#427	—	2	4	no	—
80	#427	—	4	4	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#106	—	2	4	no	—
85	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
90	#424	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	#419	—	4	4	no	—
93	#419	—	4	4	no	—
94	C₂×#103	—	2	8	no	—
95	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
99	#405	—	2	4	no	—
100	#405	—	2	4	no	—
101	C₂×#97	—	2	4	no	—
102	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	#401	—	2	8	no	—
109	#400	—	2	8	no	—
110	#400	—	2	8	no	—
111	#400	—	2	8	no	—
112	#391	—	2	2	no	—
113	#391	—	2	4	no	—
114	#391	—	2	2	no	—
115	#391	—	2	4	no	—
116	#391	C₂³	1	8	yes	—
117	#391	C₂³	1	8	yes	—
118	#391	C₂³	1	4	yes	—
119	#391	C₂³	1	4	yes	—
120	#389	D₄	1	4	yes	—
121	#389	C₂³	1	8	yes	—
122	#387	—	2	8	no	—
123	#387	—	2	8	no	—
124	#387	—	2	8	no	—
125	#385	—	2	4	no	—
126	#385	D₄	1	4	yes	—
127	#384	—	2	2	no	—
128	#384	C₂³	1	4	yes	—
129	#383	—	2	8	no	—
130	#382	—	2	2	no	—
131	#382	C₂³	1	4	yes	—
132	#381	—	2	4	no	—
133	#381	—	2	4	no	—
134	#380	—	2	4	no	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
138	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×#95	—	2	4	no	—
141	#340	C₂³	1	8	yes	—
142	#340	C₂³	1	8	yes	—
143	#336	C₂³	1	4	yes	—
144	#336	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
173	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	#107	—	2	4	no	—
215	#107	—	2	4	no	—
216	#107	—	4	4	no	—
217	#106	—	2	4	no	—
218	#106	—	2	4	no	—
219	#106	—	2	4	no	—
220	#106	—	2	4	no	—
221	#106	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
223	#103	—	2	8	no	—
224	#103	—	2	8	no	—
225	#103	—	4	8	no	—
226	#103	—	4	8	no	—
227	#97	—	2	4	no	—
228	#97	—	2	4	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	#95	—	2	8	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	#95	—	2	8	no	—
241	#95	—	2	8	no	—
242	#95	—	2	8	no	—
243	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
280	Q₁₆	—	4	8	no	—
281	Q₁₆	—	4	8	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	#126	1	16	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	4	4	no	—
326	C₄²	—	4	4	no	—
327	C₄²	—	8	8	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	#532	1	2	yes	—
330	C₂³	#547	1	2	yes	—
331	C₂³	#550	1	2	yes	—
332	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	4	4	no	—
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	4	no	—
337	Q₈	—	8	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	8	no	—
358	C₂×C₄	—	16	4	no	—
359	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	4	2	no	—
375	C₈	C₂×#126	1	4	yes	—
376	C₈	C₂×#126	1	4	yes	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	#2512	1	4	yes	—
381	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#3586	1	4	yes	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	4	4	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	#2512	1	4	yes	—
393	C₄	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×#542	1	1	yes	characteristic
395	C₄	C₂×#553	1	1	yes	characteristic
396	C₄	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	4	no	—
398	C₂	C₂×#2512	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#60720	1	2	yes	—
400	C₂	#61269	1	2	yes	—
401	C₂	#61416	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2296 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28028	C₂	semidirect
3. #28016	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35630	2
#28028	2
#28016	2
#23629	2
#23613	2
#21232	2
C₂×#1971	2
#21155	2
#21066	2
#20799	2
#20454	2
#20436	2