Subgroups — #6458221

Order 512.

1747 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27692	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27691	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#2103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23723	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20964	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2935	—	2	4	no	—
17	#2933	—	2	4	no	—
18	#2930	C₂²	1	4	yes	—
19	#2929	C₂²	1	4	yes	—
20	#2916	—	2	4	no	—
21	#2916	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#430	—	2	4	no	—
23	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
29	#2879	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2879	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2873	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2103	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#2103	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2091	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1953	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1891	C₂²	1	16	yes	—
38	#1858	C₂²	1	8	yes	—
39	#1858	C₂²	1	8	yes	—
40	#1813	C₂²	1	8	yes	—
41	#1811	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1810	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#568	—	2	4	no	—
49	#568	—	2	8	no	—
50	#568	—	4	4	no	—
51	#568	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×#131	—	2	2	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	—	2	8	no	—
55	C₂×#131	—	4	4	no	—
56	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#537	—	2	2	no	—
69	#536	—	2	1	no	—
70	#536	Q₈	1	2	yes	—
71	#535	—	2	1	no	—
72	#535	Q₈	1	2	yes	—
73	#534	Q₈	1	4	yes	—
74	#532	—	2	2	no	—
75	#525	—	2	2	no	—
76	#525	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#436	—	2	8	no	—
79	#435	—	2	8	no	—
80	#435	—	2	8	no	—
81	C₈×D₄	—	2	8	no	—
82	#430	—	2	4	no	—
83	#430	—	2	4	no	—
84	#430	—	2	16	no	—
85	#430	—	2	4	no	—
86	#430	—	2	8	no	—
87	#430	—	4	4	no	—
88	#430	C₂³	1	8	yes	—
89	#430	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#108	—	2	16	no	—
91	C₂×#108	—	2	4	no	—
92	C₂×#108	—	4	4	no	—
93	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
95	#424	—	2	2	no	—
96	#424	C₂³	1	2	yes	—
97	#424	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
99	#413	—	2	4	no	—
100	#413	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#101	—	2	2	no	—
102	C₂×#100	—	2	2	no	—
103	#408	—	2	2	no	—
104	#408	—	2	2	no	—
105	#408	—	2	2	no	—
106	#408	—	4	4	no	—
107	#408	—	4	4	no	—
108	#408	C₂³	1	2	yes	—
109	#408	C₂³	1	2	yes	—
110	#407	C₂³	1	4	yes	—
111	#407	C₂³	1	16	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
113	#405	—	2	2	no	—
114	#405	C₂³	1	4	yes	—
115	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
116	#344	C₂³	1	16	yes	—
117	#341	C₂³	1	8	yes	—
118	#341	C₂³	1	8	yes	—
119	#338	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×#41	—	2	1	no	—
121	C₂×#41	—	2	1	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	1	no	—
124	C₂×#41	—	2	1	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂×#41	—	2	4	no	—
128	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
131	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#131	—	2	16	no	—
142	#131	—	2	16	no	—
143	#131	—	4	16	no	—
144	#131	—	4	16	no	—
145	#131	—	4	8	no	—
146	#131	—	4	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
165	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
166	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
171	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
172	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
173	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
190	#127	—	2	2	no	—
191	#124	—	2	2	no	—
192	#124	—	2	2	no	—
193	#123	—	2	4	no	—
194	#123	C₂×Q₈	1	8	yes	—
195	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
197	#121	—	2	8	no	—
198	#121	—	2	4	no	—
199	#121	—	2	4	no	—
200	#120	—	2	4	no	—
201	#120	C₂×Q₈	1	8	yes	—
202	C₄×D₄	—	2	8	no	—
203	#117	—	2	1	no	—
204	#117	—	2	1	no	—
205	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
206	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
210	#108	—	2	16	no	—
211	#108	—	2	16	no	—
212	#108	—	2	16	no	—
213	#108	—	4	16	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
216	#101	—	2	8	no	—
217	#100	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
222	#97	—	2	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	2	8	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	#41	—	4	2	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	4	no	—
238	#41	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₂×Q₈	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	1	no	—
251	C₂×D₄	—	2	1	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
255	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
257	C₂×D₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	16	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	8	no	—
282	M₁₆	—	2	8	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	8	no	—
285	M₁₆	—	4	16	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	4	no	—
288	M₁₆	—	4	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	M₁₆	—	4	8	no	—
292	M₁₆	#123	1	8	yes	—
293	M₁₆	#123	1	8	yes	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	16	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	1	no	—
298	C₂×C₈	—	2	1	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	8	no	—
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	—	4	16	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	4	no	—
309	C₂×C₈	—	4	4	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	—	4	8	no	—
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
313	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	8	1	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
331	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#554	1	4	yes	—
334	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	D₄	—	2	8	no	—
340	D₄	—	2	8	no	—
341	D₄	—	2	4	no	—
342	D₄	—	2	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	4	no	—
374	C₈	—	4	1	no	—
375	C₈	—	4	1	no	—
376	C₈	—	4	8	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	8	no	—
379	C₈	C₂×#123	1	8	yes	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	4	1	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	#2487	1	2	yes	—
391	C₂²	#2487	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#554	1	2	yes	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	#2487	1	2	yes	—
398	C₄	#2487	1	2	yes	—
399	C₄	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
402	C₂	—	2	1	no	—
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	4	4	no	—
407	C₂	—	8	2	no	—
408	C₂	C₂×#2487	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂×#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂	C₂×#2487
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60113	C₂	semidirect
3. #27692	C₂	semidirect
4. #27691	C₂	semidirect
5. C₂×#2103	C₂	semidirect
6. #23723	C₂	semidirect
7. #21184	C₂	semidirect
9. C₂×#1858	C₂	semidirect
10. #20673	C₂	semidirect
11. #20669	C₂	semidirect
33. #2103	C₂²	semidirect
34. #2103	C₂²	semidirect
35. #2091	C₂²	semidirect
36. #1953	C₂²	semidirect
41. #1811	C₂²	semidirect
42. #1810	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60142	2
#60113	2
#27692	2
#27691	2
C₂×#2103	2
#23723	2
#21184	2
#20964	2
C₂×#1858	2
#20673	2
#20669	2