Subgroups — #6458274

Order 512.

1757 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27694	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27693	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23751	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21164	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20947	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20671	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2933	—	2	4	no	—
17	#2933	—	2	4	no	—
18	#2932	C₂²	1	4	yes	—
19	#2931	C₂²	1	4	yes	—
20	#2916	—	2	4	no	—
21	#2916	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#430	—	2	4	no	—
23	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
25	#2911	C₂²	1	2	yes	—
26	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2102	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2098	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2098	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1946	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1945	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1884	C₂²	1	16	yes	—
39	#1868	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#1868	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1814	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1812	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
44	#1733	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#568	—	2	4	no	—
49	#568	—	2	8	no	—
50	#568	—	2	8	no	—
51	#568	—	4	4	no	—
52	#568	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	—	4	4	no	—
55	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#537	—	2	2	no	—
67	#536	Q₈	1	2	yes	—
68	#536	Q₈	1	2	yes	—
69	#535	Q₈	1	2	yes	—
70	#535	Q₈	1	2	yes	—
71	#534	—	2	2	no	—
72	#532	C₂³	1	4	yes	—
73	#525	—	2	2	no	—
74	#525	—	2	2	no	—
75	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#436	—	2	8	no	—
78	#435	—	2	8	no	—
79	#435	—	2	8	no	—
80	C₈×D₄	—	2	8	no	—
81	#430	—	2	4	no	—
82	#430	—	2	4	no	—
83	#430	—	2	16	no	—
84	#430	—	2	4	no	—
85	#430	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#108	—	2	16	no	—
87	C₂×#108	—	2	4	no	—
88	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
89	#428	—	2	8	no	—
90	#427	C₂³	1	8	yes	—
91	#424	—	2	2	no	—
92	#424	—	2	2	no	—
93	#424	—	4	4	no	—
94	#424	C₂³	1	8	yes	—
95	#424	C₂³	1	8	yes	—
96	#423	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
98	#421	—	4	4	no	—
99	#421	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×#104	—	4	4	no	—
101	#410	—	2	4	no	—
102	#410	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×#99	—	2	4	no	—
104	#408	—	2	2	no	—
105	#408	—	2	2	no	—
106	#408	C₂³	1	2	yes	—
107	#408	C₂³	1	2	yes	—
108	#408	C₂³	1	2	yes	—
109	#408	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
112	#405	—	2	2	no	—
113	#405	—	2	2	no	—
114	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	#344	C₂³	1	16	yes	—
117	#339	C₂³	1	16	yes	—
118	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×#41	—	2	1	no	—
120	C₂×#41	—	2	4	no	—
121	C₂×#41	—	2	1	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
129	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
130	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#131	—	2	16	no	—
141	#131	—	2	16	no	—
142	#131	—	2	16	no	—
143	#131	—	4	16	no	—
144	#131	—	4	16	no	—
145	#131	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
159	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
160	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
165	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
167	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
181	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
182	#124	C₂×Q₈	1	4	yes	—
183	#124	C₂×Q₈	1	4	yes	—
184	#123	—	2	4	no	—
185	#123	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
188	#121	—	2	4	no	—
189	#121	—	2	8	no	—
190	#121	—	2	4	no	—
191	#120	—	2	4	no	—
192	#120	—	2	4	no	—
193	C₄×D₄	—	2	8	no	—
194	#117	—	2	1	no	—
195	#117	—	2	1	no	—
196	#117	—	2	4	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	4	no	—
199	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
200	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
201	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
208	#108	—	2	16	no	—
209	#108	—	2	16	no	—
210	#107	—	2	8	no	—
211	#106	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
215	#104	—	4	16	no	—
216	#99	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
221	#97	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂⁴	—	2	1	no	—
224	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	2	4	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	2	4	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	8	no	—
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	2	4	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
253	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
254	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
256	C₂×D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	16	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	2	8	no	—
283	M₁₆	—	4	16	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	4	no	—
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	M₁₆	#123	1	8	yes	—
289	M₁₆	#123	1	8	yes	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	16	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	8	no	—
298	C₂×C₈	—	4	16	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	8	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	8	1	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	#553	1	4	yes	—
333	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	D₄	—	2	8	no	—
339	D₄	—	2	8	no	—
340	D₄	—	2	4	no	—
341	D₄	—	2	4	no	—
342	D₄	—	2	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	8	no	—
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	—	4	2	no	—
376	C₈	—	4	1	no	—
377	C₈	—	4	1	no	—
378	C₈	—	4	8	no	—
379	C₈	C₂×#123	1	8	yes	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	#2487	1	2	yes	—
391	C₂²	#2487	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#553	1	2	yes	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	8	8	no	—
398	C₄	#2487	1	2	yes	—
399	C₄	#2487	1	2	yes	—
400	C₄	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	4	4	no	—
408	C₂	—	8	2	no	—
409	C₂	C₂×#2487	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂×#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂	C₂×#2487
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60113	C₂	semidirect
3. #27694	C₂	semidirect
4. #27693	C₂	semidirect
5. #23751	C₂	semidirect
6. C₂×#2098	C₂	semidirect
7. #21164	C₂	semidirect
9. C₂×#1868	C₂	semidirect
10. #20675	C₂	semidirect
11. #20671	C₂	semidirect
21. #2916	C₂²	semidirect
33. #2102	C₂²	semidirect
34. #2098	C₂²	semidirect
35. #2098	C₂²	semidirect
36. #1946	C₂²	semidirect
37. #1945	C₂²	semidirect
39. #1868	C₂²	semidirect
40. #1868	C₂²	semidirect
41. #1814	C₂²	semidirect
42. #1812	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60143	2
#60113	2
#27694	2
#27693	2
#23751	2
C₂×#2098	2
#21164	2
#20947	2
C₂×#1868	2
#20675	2
#20671	2