Subgroups — #6458293

Order 512.

2018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 323 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36625	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27954	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27949	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23659	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20845	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#2857	C₂²	1	4	yes	—
17	#2855	—	2	2	no	—
18	#2851	C₂²	1	4	yes	—
19	#2848	—	2	2	no	—
20	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
21	#2296	C₂²	1	2	yes	—
22	#2285	—	2	4	no	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2285	C₂²	1	4	yes	—
25	#2285	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
28	#2280	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#380	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	#2085	C₂²	1	32	yes	complemented
32	#1992	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1990	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1854	C₂²	1	32	yes	—
35	#1847	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1845	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1844	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1749	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
40	#1736	C₂²	1	8	yes	—
41	#1728	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	#533	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	—	4	8	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#428	—	4	16	no	—
68	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
70	#407	Q₈	1	16	yes	complemented
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
72	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
73	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	#391	—	2	4	no	—
76	#389	—	2	4	no	—
77	#389	C₂³	1	8	yes	—
78	#387	—	2	8	no	—
79	#385	—	2	8	no	—
80	#385	—	2	4	no	—
81	#384	—	2	4	no	—
82	#384	C₂³	1	2	yes	—
83	#384	C₂³	1	4	yes	—
84	#384	C₂³	1	4	yes	—
85	#382	—	2	4	no	—
86	#382	C₂³	1	2	yes	—
87	#382	C₂³	1	8	yes	—
88	#381	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	#380	—	2	4	no	—
91	#380	—	2	8	no	—
92	#380	—	2	8	no	—
93	#380	C₂³	1	8	yes	—
94	#379	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×#95	—	2	4	no	—
101	#340	C₂³	1	32	yes	—
102	#336	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
124	#125	—	2	8	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
128	#117	—	2	8	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	4	16	no	—
131	#117	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#107	—	4	16	no	—
167	#106	—	4	16	no	—
168	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
169	#97	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	—	2	8	no	—
171	#95	—	2	16	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	—	2	8	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	M₁₆	—	2	32	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄²	—	2	8	no	—
237	C₄²	—	2	8	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	4	16	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	4	4	no	—
243	C₄²	#123	1	8	yes	—
244	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	8	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₂³	#535	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	8	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	16	no	—
266	C₂×C₄	—	2	16	no	—
267	C₂×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	16	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	16	no	—
280	C₂×C₄	—	8	16	no	—
281	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#554	1	16	yes	—
288	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₈	—	2	16	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	4	16	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	#2502	1	4	yes	—
303	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
307	C₄	—	2	4	no	—
308	C₄	—	2	4	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	8	4	no	—
311	C₄	—	8	4	no	—
312	C₄	—	8	8	no	—
313	C₄	#2502	1	4	yes	—
314	C₄	#3093	1	8	yes	—
315	C₄	C₂×#554	1	4	yes	—
316	C₂	—	2	4	no	—
317	C₂	—	4	4	no	—
318	C₂	C₂×#2502	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#3093	1	2	yes	—
320	C₂	#60663	1	2	yes	—
321	C₂	#60801	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27954	C₂	semidirect
4. #27949	C₂	semidirect
5. #23659	C₂	semidirect
6. #21322	C₂	semidirect
8. #20800	C₂	semidirect
31. #2085	C₂²	semidirect
32. #1992	C₂²	semidirect
33. #1990	C₂²	semidirect
35. #1847	C₂²	semidirect
36. #1845	C₂²	semidirect
37. #1844	C₂²	semidirect
70. #407	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36625	2
C₂×#2285	2
#27954	2
#27949	2
#23659	2
#21322	2
#20845	2
#20800	2
C₄×#407	2