Subgroups — #6458305

Order 512.

1874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27957	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27949	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27948	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21318	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20848	C₂	1	4	yes	maximal
10	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	4	yes	—
22	#2629	C₂²	1	4	yes	—
23	#2582	—	2	2	no	—
24	#2538	—	2	2	no	—
25	#2417	—	2	4	no	—
26	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
28	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	#2317	C₂²	1	4	yes	—
30	#2317	C₂²	1	2	yes	—
31	#2316	C₂²	1	2	yes	—
32	#2311	C₂²	1	2	yes	—
33	#2285	C₂²	1	2	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2085	C₂²	1	16	yes	—
39	#2084	C₂²	1	16	yes	—
40	#1992	C₂²	1	4	yes	—
41	#1991	C₂²	1	4	yes	—
42	#1990	C₂²	1	2	yes	—
43	#1990	C₂²	1	4	yes	—
44	#1990	C₂²	1	2	yes	—
45	#1854	C₂²	1	16	yes	—
46	#1853	C₂²	1	16	yes	—
47	#1847	C₂²	1	4	yes	—
48	#1845	C₂²	1	2	yes	—
49	#1844	C₂²	1	2	yes	—
50	#1844	C₂²	1	4	yes	—
51	#1844	C₂²	1	4	yes	—
52	#1750	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#533	—	2	4	no	—
61	#533	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	#520	—	4	8	no	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₄×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#428	—	4	8	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#106	—	4	8	no	—
92	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
94	#408	Q₈	1	16	yes	complemented
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#398	—	2	8	no	—
103	#396	—	2	8	no	—
104	#391	—	2	2	no	—
105	#391	—	2	4	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#389	—	2	8	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#389	C₂³	1	8	yes	—
112	#386	—	2	4	no	—
113	#385	—	2	4	no	—
114	#385	—	2	8	no	—
115	#384	—	2	2	no	—
116	#384	—	2	4	no	—
117	#384	—	2	2	no	—
118	#384	C₂³	1	4	yes	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#384	C₂³	1	2	yes	—
122	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#384	C₂³	1	2	yes	—
124	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#382	C₂³	1	4	yes	—
126	#382	C₂³	1	2	yes	—
127	#380	—	2	4	no	—
128	#380	—	2	4	no	—
129	#380	—	2	2	no	—
130	#380	—	2	4	no	—
131	#380	C₂³	1	8	yes	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	#340	C₂³	1	8	yes	—
135	#340	C₂³	1	16	yes	—
136	#340	C₂³	1	8	yes	—
137	#336	C₂³	1	8	yes	—
138	C₂×#41	—	2	2	no	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	2	4	no	—
141	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	#125	—	2	4	no	—
164	#125	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄×D₄	—	2	16	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	4	16	no	—
173	C₄×D₄	—	4	8	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	#117	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	#107	—	4	8	no	—
227	#106	—	4	16	no	—
228	#106	—	4	8	no	—
229	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	2	4	no	—
233	C₄×C₈	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	8	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	8	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	#41	—	2	16	no	—
241	#41	—	2	16	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
253	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
273	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
285	M₁₆	—	2	16	no	—
286	C₂×C₈	—	2	16	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
320	C₄²	—	2	8	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	—	4	4	no	—
326	C₄²	#123	1	8	yes	—
327	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
339	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
340	C₂³	#535	1	2	yes	—
341	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	2	8	no	—
343	Q₈	—	8	8	no	—
344	D₄	—	2	16	no	—
345	D₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	16	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	8	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	16	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	16	4	no	—
369	C₂×C₄	—	16	4	no	—
370	C₂×C₄	—	16	8	no	—
371	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
378	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
379	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
385	C₈	—	2	8	no	—
386	C₈	—	2	8	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	8	no	—
393	C₂²	—	4	4	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	#2502	1	4	yes	—
397	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	4	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	—	8	2	no	—
409	C₄	—	8	4	no	—
410	C₄	#2502	1	4	yes	—
411	C₄	#3099	1	8	yes	—
412	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
413	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
414	C₂	—	2	4	no	—
415	C₂	—	4	4	no	—
416	C₂	C₂×#2502	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#3099	1	2	yes	—
418	C₂	#60665	1	2	yes	—
419	C₂	#60818	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#60820	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27957	C₂	semidirect
4. #27949	C₂	semidirect
5. #27948	C₂	semidirect
6. #23661	C₂	semidirect
7. #21322	C₂	semidirect
8. #21318	C₂	semidirect
10. #20800	C₂	semidirect
11. C₂×#1844	C₂	semidirect
94. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35280	2
#34183	2
#27957	2
#27949	2
#27948	2
#23661	2
#21322	2
#21318	2
#20848	2
#20800	2
C₂×#1844	2
C₄×#408	2