Subgroups — #6458504

Order 512.

2216 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27979	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27975	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27974	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23631	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20764	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	#2857	C₂²	1	2	yes	—
19	#2856	C₂²	1	2	yes	—
20	#2854	—	2	2	no	—
21	#2850	C₂²	1	4	yes	—
22	#2847	—	2	2	no	—
23	C₄×#121	—	2	4	no	—
24	#2297	C₂²	1	2	yes	—
25	#2285	—	2	4	no	—
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2285	C₂²	1	4	yes	—
28	#2285	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#380	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	#2074	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2073	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1959	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1875	C₂²	1	16	yes	—
39	#1873	C₂²	1	16	yes	—
40	#1836	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1834	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1749	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
44	#1736	C₂²	1	8	yes	—
45	#1728	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	#532	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
54	#525	—	2	16	no	—
55	C₂×#123	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	4	no	—
59	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#120	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	4	no	—
64	C₂×#117	—	4	8	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#417	—	4	16	no	—
79	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
81	#407	—	2	8	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
84	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	#391	C₂³	1	4	yes	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	C₂³	1	4	yes	—
89	#389	—	2	4	no	—
90	#388	—	2	8	no	—
91	#386	—	2	8	no	—
92	#386	—	2	4	no	—
93	#384	—	2	4	no	—
94	#384	C₂³	1	2	yes	—
95	#384	C₂³	1	4	yes	—
96	#384	C₂³	1	4	yes	—
97	#382	—	2	4	no	—
98	#382	C₂³	1	8	yes	—
99	#382	C₂³	1	2	yes	—
100	#380	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	4	no	—
102	#380	—	2	8	no	—
103	#380	—	2	8	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×#95	—	2	4	no	—
109	#340	C₂³	1	32	yes	—
110	#336	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#41	—	2	8	no	—
113	C₂×#41	—	2	8	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#124	—	2	8	no	—
142	#123	—	4	8	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
144	#121	—	2	16	no	—
145	#121	—	4	16	no	—
146	#121	—	4	8	no	—
147	#120	—	4	8	no	—
148	C₄×D₄	—	4	16	no	—
149	C₄×D₄	—	4	8	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	#117	—	4	16	no	—
152	#117	—	4	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	#103	—	4	16	no	—
187	#102	—	4	16	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
189	#97	—	2	8	no	—
190	C₄×C₈	—	2	8	no	—
191	#95	—	2	16	no	—
192	#95	—	2	8	no	—
193	#95	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	4	32	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	16	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
253	M₁₆	—	4	16	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	4	16	no	—
276	C₄²	—	4	4	no	—
277	C₄²	#123	1	8	yes	—
278	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
279	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
296	C₂³	#535	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	8	16	no	—
301	D₄	—	8	8	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	16	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	8	16	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#553	1	16	yes	—
332	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₈	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	4	16	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	#2504	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	8	8	no	—
359	C₄	—	8	4	no	—
360	C₄	—	8	2	no	—
361	C₄	#2504	1	4	yes	—
362	C₄	#3093	1	8	yes	—
363	C₄	C₂×#553	1	4	yes	—
364	C₂	—	2	4	no	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	16	2	no	—
367	C₂	C₂×#2504	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂×#3093	1	2	yes	—
369	C₂	#60618	1	2	yes	—
370	C₂	#60801	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2285	C₂	semidirect
3. #27979	C₂	semidirect
4. #27975	C₂	semidirect
5. #27974	C₂	semidirect
6. #23631	C₂	semidirect
7. #21200	C₂	semidirect
8. #20910	C₂	semidirect
9. #20764	C₂	semidirect
10. C₄×#407	C₂	semidirect
33. #2074	C₂²	semidirect
34. #2073	C₂²	semidirect
35. #1959	C₂²	semidirect
36. #1957	C₂²	semidirect
37. #1956	C₂²	semidirect
40. #1836	C₂²	semidirect
41. #1834	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36624	2
C₂×#2285	2
#27979	2
#27975	2
#27974	2
#23631	2
#21200	2
#20910	2
#20764	2
C₄×#407	2