Subgroups — #6458528

Order 512.

2174 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27986	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27982	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27981	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23632	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20914	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20762	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#20375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2856	C₂²	1	4	yes	—
23	#2619	C₂²	1	4	yes	—
24	#2548	—	2	2	no	—
25	#2541	—	2	2	no	—
26	#2408	—	2	4	no	—
27	#2351	—	2	2	no	—
28	#2349	—	2	4	no	—
29	#2349	—	2	2	no	—
30	#2317	C₂²	1	2	yes	—
31	#2317	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2309	C₂²	1	2	yes	—
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2285	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#2073	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2071	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1961	C₂²	1	2	yes	—
41	#1961	C₂²	1	4	yes	—
42	#1961	C₂²	1	2	yes	—
43	#1961	C₂²	1	4	yes	—
44	#1957	C₂²	1	4	yes	—
45	#1875	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1874	C₂²	1	16	yes	complemented
47	#1836	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1836	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#1750	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1749	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	#535	—	2	16	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	4	no	—
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#124	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	8	no	—
71	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#120	—	2	4	no	—
73	#520	—	4	8	no	—
74	C₄×#41	—	2	4	no	—
75	C₄×#41	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#418	—	4	8	no	—
92	C₂×#102	—	4	8	no	—
93	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
96	#408	—	2	8	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×#97	—	2	4	no	—
100	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	#394	—	2	8	no	—
105	#392	—	2	8	no	—
106	#390	—	2	4	no	—
107	#390	—	2	8	no	—
108	#390	C₂³	1	8	yes	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	8	no	—
111	#385	—	2	4	no	—
112	#385	—	2	8	no	—
113	#384	C₂³	1	4	yes	—
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#384	C₂³	1	2	yes	—
116	#382	—	2	2	no	—
117	#382	—	2	4	no	—
118	#382	C₂³	1	4	yes	—
119	#382	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	C₂³	1	2	yes	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#380	—	2	2	no	—
125	#380	—	2	4	no	—
126	#380	—	2	2	no	—
127	#379	—	2	4	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×#95	—	2	2	no	—
132	C₂×#95	—	2	4	no	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁵	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	2	2	no	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	2	4	no	—
141	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
153	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	#127	—	2	4	no	—
171	#127	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	4	no	—
173	#127	—	2	4	no	—
174	#127	—	4	8	no	—
175	#127	—	4	8	no	—
176	#124	—	4	8	no	—
177	#121	—	2	32	no	—
178	#121	—	8	16	no	—
179	#120	—	4	16	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₄×D₄	—	2	16	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	4	16	no	—
185	C₄×D₄	—	4	8	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	8	no	—
191	#117	—	2	8	no	—
192	#117	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	#102	—	4	16	no	—
226	#102	—	4	8	no	—
227	#102	—	4	8	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	#97	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	2	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	2	no	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	4	4	no	—
241	C₂⁴	—	4	4	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	8	8	no	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	#41	—	2	16	no	—
247	#41	—	2	16	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	#124	1	4	yes	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	8	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	16	no	—
260	C₂×D₄	—	4	16	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	16	no	—
267	C₂×D₄	—	4	16	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂×D₄	—	8	32	no	—
270	C₂×D₄	—	8	16	no	—
271	C₂×D₄	#124	1	8	yes	—
272	C₂×D₄	#124	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
299	M₁₆	—	4	8	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
325	C₄²	—	2	8	no	—
326	C₄²	—	2	2	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	4	8	no	—
329	C₄²	—	4	4	no	—
330	C₄²	—	4	4	no	—
331	C₄²	#123	1	8	yes	—
332	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	2	8	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	4	16	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	4	4	no	—
344	C₂³	—	8	16	no	—
345	C₂³	—	8	8	no	—
346	C₂³	—	16	8	no	—
347	C₂³	—	16	8	no	—
348	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
349	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
350	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
351	C₂³	#535	1	2	yes	—
352	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
353	Q₈	—	2	8	no	—
354	D₄	—	2	16	no	—
355	D₄	—	2	8	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	4	8	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	D₄	—	8	16	no	—
360	D₄	—	8	8	no	—
361	D₄	—	16	16	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	8	no	—
367	C₂×C₄	—	2	8	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	8	no	—
380	C₂×C₄	—	16	4	no	—
381	C₂×C₄	—	16	8	no	—
382	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
389	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
390	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	2	4	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	2	4	no	—
399	C₂²	—	2	8	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	8	no	—
405	C₂²	—	8	8	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	16	16	no	—
408	C₂²	#2504	1	4	yes	—
409	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#3585	1	4	yes	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	2	4	no	—
416	C₄	—	4	4	no	—
417	C₄	—	8	2	no	—
418	C₄	—	8	4	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	#2504	1	4	yes	—
422	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
423	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
424	C₂	—	2	4	no	—
425	C₂	—	4	4	no	—
426	C₂	—	16	4	no	—
427	C₂	C₂×#2504	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#60518	1	2	yes	—
429	C₂	#60626	1	2	yes	—
430	C₂	#60825	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35272	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34184	C₂	semidirect
3. #27986	C₂	semidirect
4. #27982	C₂	semidirect
5. #27981	C₂	semidirect
6. #23632	C₂	semidirect
7. #21203	C₂	semidirect
8. C₂×#1961	C₂	semidirect
9. #20914	C₂	semidirect
10. #20765	C₂	semidirect
11. #20762	C₂	semidirect
12. #20375	C₂	semidirect
31. #2317	C₂²	semidirect
35. #2285	C₂²	semidirect
37. C₂×#382	C₂²	semidirect
38. #2073	C₂²	semidirect
39. #2071	C₂²	semidirect
45. #1875	C₂²	semidirect
46. #1874	C₂²	semidirect
47. #1836	C₂²	semidirect
48. #1836	C₂²	semidirect
49. #1836	C₂²	semidirect
50. #1836	C₂²	semidirect
51. #1835	C₂²	semidirect
52. #1750	C₂²	semidirect
53. #1749	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35272	2
#34184	2
#27986	2
#27982	2
#27981	2
#23632	2
#21203	2
C₂×#1961	2
#20914	2
#20765	2
#20762	2
#20375	2