Subgroups — #6458700

Order 512.

1664 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27885	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27878	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27877	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23639	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21318	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21037	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2857	C₂²	1	4	yes	—
20	#2629	C₂²	1	4	yes	—
21	#2582	—	2	2	no	—
22	#2538	—	2	2	no	—
23	#2417	—	2	4	no	—
24	#2355	—	2	2	no	—
25	#2354	—	2	2	no	—
26	#2352	—	2	4	no	—
27	#2316	C₂²	1	2	yes	—
28	#2314	C₂²	1	4	yes	—
29	#2311	C₂²	1	2	yes	—
30	#2311	C₂²	1	2	yes	—
31	#2285	C₂²	1	4	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2274	C₂²	1	2	yes	—
36	#2076	C₂²	1	16	yes	—
37	#2075	C₂²	1	16	yes	—
38	#1992	C₂²	1	4	yes	—
39	#1991	C₂²	1	4	yes	—
40	#1990	C₂²	1	2	yes	—
41	#1990	C₂²	1	2	yes	—
42	#1990	C₂²	1	4	yes	—
43	#1921	C₂²	1	16	yes	—
44	#1918	C₂²	1	16	yes	—
45	#1845	C₂²	1	2	yes	—
46	#1845	C₂²	1	2	yes	—
47	#1845	C₂²	1	4	yes	—
48	#1836	C₂²	1	4	yes	—
49	#1834	C₂²	1	4	yes	—
50	#1750	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
53	#1736	C₂²	1	4	yes	—
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#533	—	2	4	no	—
61	#533	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₄×#41	—	2	4	no	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#117	—	2	4	no	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	—	2	16	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
86	#408	—	2	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#398	—	2	8	no	—
97	#396	—	2	8	no	—
98	#391	—	2	2	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#391	—	2	4	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	C₂³	1	8	yes	—
106	#388	—	2	8	no	—
107	#387	—	2	8	no	—
108	#386	—	2	4	no	—
109	#386	—	2	4	no	—
110	#384	—	2	2	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#384	C₂³	1	2	yes	—
116	#384	C₂³	1	2	yes	—
117	#382	—	2	4	no	—
118	#382	C₂³	1	2	yes	—
119	#380	—	2	4	no	—
120	#380	—	2	2	no	—
121	#380	—	2	4	no	—
122	#380	—	2	4	no	—
123	#380	C₂³	1	8	yes	—
124	#380	C₂³	1	8	yes	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	#340	C₂³	1	8	yes	—
131	#340	C₂³	1	16	yes	—
132	#340	C₂³	1	16	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#336	C₂³	1	4	yes	—
135	#336	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×#41	—	2	2	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	2	4	no	—
139	C₂×#41	—	2	4	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	#125	—	2	4	no	—
162	#125	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	16	no	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	8	no	—
176	#117	—	8	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	#107	—	2	16	no	—
217	#107	—	2	16	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	2	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	4	no	—
225	#95	—	2	8	no	—
226	#95	—	2	4	no	—
227	#95	—	2	8	no	—
228	#95	—	2	8	no	—
229	#95	—	2	8	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
274	M₁₆	—	4	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	16	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
309	C₄²	—	2	8	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	4	4	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	8	8	no	—
315	C₄²	#123	1	8	yes	—
316	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
328	C₂³	#532	1	2	yes	—
329	C₂³	#536	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	4	4	no	—
332	Q₈	—	8	8	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	16	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	16	4	no	—
358	C₂×C₄	—	16	4	no	—
359	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#552	1	8	yes	—
365	C₂×C₄	#556	1	8	yes	—
366	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	—	2	4	no	—
374	C₈	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	#2499	1	4	yes	—
385	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	8	4	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	#2499	1	4	yes	—
398	C₄	#3098	1	8	yes	—
399	C₄	C₂×#552	1	2	yes	—
400	C₄	C₂×#556	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	8	2	no	—
403	C₂	C₂×#2499	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#3098	1	2	yes	—
405	C₂	#60714	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#60715	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#60880	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27885	C₂	semidirect
4. #27878	C₂	semidirect
5. #27877	C₂	semidirect
7. #21322	C₂	semidirect
8. #21318	C₂	semidirect
9. #21037	C₂	semidirect
10. C₂×#1845	C₂	semidirect
11. #20764	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35280	2
#34188	2
#27885	2
#27878	2
#27877	2
#23639	2
#21322	2
#21318	2
#21037	2
C₂×#1845	2
#20764	2
C₄×#408	2