Subgroups — #6458703

Order 512.

1568 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27885	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#27884	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27879	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23641	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21039	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2851	C₂²	1	4	yes	—
20	#2629	C₂²	1	4	yes	—
21	#2579	—	2	4	no	—
22	#2566	—	2	2	no	—
23	#2565	—	2	2	no	—
24	#2357	—	2	2	no	—
25	#2356	—	2	2	no	—
26	#2353	—	2	4	no	—
27	#2317	C₂²	1	2	yes	—
28	#2314	C₂²	1	4	yes	—
29	#2311	C₂²	1	2	yes	—
30	#2311	C₂²	1	2	yes	—
31	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2283	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2274	C₂²	1	2	yes	—
36	#2077	C₂²	1	8	yes	—
37	#2077	C₂²	1	8	yes	—
38	#2076	C₂²	1	8	yes	—
39	#2075	C₂²	1	8	yes	—
40	#1992	C₂²	1	4	yes	—
41	#1991	C₂²	1	4	yes	—
42	#1991	C₂²	1	2	yes	—
43	#1991	C₂²	1	2	yes	—
44	#1991	C₂²	1	4	yes	—
45	#1921	C₂²	1	8	yes	—
46	#1920	C₂²	1	8	yes	—
47	#1919	C₂²	1	8	yes	—
48	#1918	C₂²	1	8	yes	—
49	#1846	C₂²	1	4	yes	—
50	#1845	C₂²	1	2	yes	—
51	#1844	C₂²	1	2	yes	—
52	#1836	C₂²	1	4	yes	—
53	#1835	C₂²	1	4	yes	—
54	#1750	C₂²	1	2	yes	—
55	#1750	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
57	#1736	C₂²	1	4	yes	—
58	#1736	C₂²	1	4	yes	—
59	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
60	#1729	C₂²	1	2	yes	—
61	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#125	—	2	2	no	—
65	C₂×#125	—	2	4	no	—
66	C₂×#125	—	2	4	no	—
67	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
69	C₄×#41	—	2	4	no	—
70	C₄×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#427	—	2	16	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
88	#408	—	2	8	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	#398	—	2	8	no	—
99	#396	—	2	8	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#389	C₂³	1	8	yes	—
105	#388	—	2	8	no	—
106	#387	—	2	8	no	—
107	#387	—	2	8	no	—
108	#386	—	2	4	no	—
109	#386	—	2	4	no	—
110	#385	—	2	8	no	—
111	#385	—	2	4	no	—
112	#384	—	2	2	no	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#383	—	2	4	no	—
116	#382	—	2	2	no	—
117	#382	—	2	2	no	—
118	#382	C₂³	1	2	yes	—
119	#382	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	C₂³	1	2	yes	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#381	—	2	4	no	—
123	#380	—	2	2	no	—
124	#380	—	2	2	no	—
125	#380	C₂³	1	8	yes	—
126	#380	C₂³	1	8	yes	—
127	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
131	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
133	#376	—	2	4	no	—
134	C₂×#95	—	2	2	no	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#340	C₂³	1	8	yes	—
137	#340	C₂³	1	8	yes	—
138	#340	C₂³	1	8	yes	—
139	#340	C₂³	1	8	yes	—
140	#340	C₂³	1	8	yes	—
141	#336	C₂³	1	4	yes	—
142	#336	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×#41	—	2	2	no	—
144	C₂×#41	—	2	2	no	—
145	C₂×#41	—	2	4	no	—
146	C₂×#41	—	2	4	no	—
147	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
165	#125	—	2	4	no	—
166	#125	—	2	4	no	—
167	#125	—	2	4	no	—
168	#125	—	2	4	no	—
169	#125	—	4	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	16	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	8	no	—
178	#117	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	#107	—	2	8	no	—
215	#107	—	2	8	no	—
216	#106	—	2	8	no	—
217	#106	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄×C₈	—	2	4	no	—
225	#95	—	2	4	no	—
226	#95	—	2	4	no	—
227	#95	—	2	2	no	—
228	#95	—	2	8	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	8	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	2	8	no	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	4	8	no	—
237	#41	—	4	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	4	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
306	C₄²	—	2	8	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	8	8	no	—
312	C₄²	#123	1	8	yes	—
313	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	2	8	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
323	C₂³	#532	1	2	yes	—
324	C₂³	#536	1	2	yes	—
325	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	—	16	4	no	—
352	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#552	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	#556	1	8	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	2	4	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	#2499	1	4	yes	—
374	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3584	1	4	yes	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	#2499	1	4	yes	—
387	C₄	C₂×#552	1	2	yes	—
388	C₄	C₂×#556	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	8	2	no	—
391	C₂	C₂×#2499	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#60516	1	2	yes	—
393	C₂	#60717	1	2	yes	—
394	C₂	#60879	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27885	C₂	semidirect
4. #27884	C₂	semidirect
5. #27879	C₂	semidirect
7. #21325	C₂	semidirect
8. C₂×#1991	C₂	semidirect
9. #21039	C₂	semidirect
10. #20797	C₂	semidirect
11. #20765	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35333	2
#34189	2
#27885	2
#27884	2
#27879	2
#23641	2
#21325	2
C₂×#1991	2
#21039	2
#20797	2
#20765	2
C₄×#408	2