Subgroups — #6458763

Order 512.

2052 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27903	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27897	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23486	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21065	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2856	C₂²	1	4	yes	—
22	#2619	C₂²	1	4	yes	—
23	#2548	—	2	2	no	—
24	#2541	—	2	2	no	—
25	#2408	—	2	4	no	—
26	#2357	—	2	2	no	—
27	#2356	—	2	2	no	—
28	#2353	—	2	4	no	—
29	#2314	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#2311	C₂²	1	2	yes	—
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2283	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2274	C₂²	1	2	yes	—
37	#2034	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#2033	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1961	C₂²	1	4	yes	—
40	#1961	C₂²	1	4	yes	—
41	#1961	C₂²	1	4	yes	—
42	#1957	C₂²	1	4	yes	—
43	#1926	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1925	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1750	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1749	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1736	C₂²	1	4	yes	—
52	#1729	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#535	—	4	8	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	—	2	4	no	—
62	C₂×#127	—	2	4	no	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#124	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	8	no	—
67	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#120	—	2	4	no	—
69	C₄×#41	—	2	4	no	—
70	C₄×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#427	—	4	8	no	—
82	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
84	#418	—	4	8	no	—
85	C₂×#102	—	2	16	no	—
86	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
89	#408	—	2	8	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	—	2	4	no	—
93	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#394	—	2	8	no	—
98	#392	—	2	8	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	8	no	—
103	#390	C₂³	1	8	yes	—
104	#388	—	2	8	no	—
105	#387	—	2	8	no	—
106	#386	—	2	4	no	—
107	#384	C₂³	1	2	yes	—
108	#384	C₂³	1	2	yes	—
109	#383	—	2	4	no	—
110	#382	—	2	2	no	—
111	#382	C₂³	1	2	yes	—
112	#382	C₂³	1	2	yes	—
113	#382	C₂³	1	2	yes	—
114	#382	C₂³	1	2	yes	—
115	#381	—	2	4	no	—
116	#380	—	2	2	no	—
117	#380	—	2	2	no	—
118	#380	C₂³	1	8	yes	—
119	#379	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	#376	—	2	4	no	—
127	C₂×#95	—	2	2	no	—
128	#340	C₂³	1	16	yes	—
129	#336	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂⁵	—	2	2	no	—
131	C₂×#41	—	2	2	no	—
132	C₂×#41	—	2	2	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂×#41	—	2	4	no	—
135	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
145	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
146	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
162	#127	—	2	4	no	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#127	—	4	8	no	—
167	#127	—	4	8	no	—
168	#124	—	4	8	no	—
169	#121	—	4	16	no	—
170	#121	—	8	16	no	—
171	#120	—	4	16	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	2	16	no	—
174	C₄×D₄	—	2	8	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	8	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	4	8	no	—
210	#106	—	4	8	no	—
211	#102	—	2	16	no	—
212	#102	—	2	16	no	—
213	#102	—	4	16	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	8	no	—
223	#95	—	2	2	no	—
224	#95	—	2	8	no	—
225	#95	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	2	4	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	4	4	no	—
230	C₂⁴	—	8	8	no	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	4	8	no	—
234	#41	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	16	no	—
249	C₂×D₄	—	4	16	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	16	no	—
256	C₂×D₄	—	4	16	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	32	no	—
259	C₂×D₄	—	8	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
283	M₁₆	—	4	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	16	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
306	C₄²	—	2	8	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	8	8	no	—
312	C₄²	#123	1	8	yes	—
313	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	2	8	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	4	16	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	8	16	no	—
327	C₂³	—	8	8	no	—
328	C₂³	—	16	8	no	—
329	C₂³	—	16	8	no	—
330	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
331	C₂³	#532	1	2	yes	—
332	C₂³	#535	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	8	16	no	—
340	D₄	—	8	16	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	—	16	16	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	8	no	—
361	C₂×C₄	—	16	4	no	—
362	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
368	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	8	no	—
374	C₈	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	8	8	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	8	8	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	16	16	no	—
387	C₂²	#2500	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3585	1	4	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	#2500	1	4	yes	—
400	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
401	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
402	C₂	—	2	4	no	—
403	C₂	—	8	2	no	—
404	C₂	—	16	4	no	—
405	C₂	C₂×#2500	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#60518	1	2	yes	—
407	C₂	#60719	1	2	yes	—
408	C₂	#60830	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35272	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34189	C₂	semidirect
3. #27903	C₂	semidirect
4. #27897	C₂	semidirect
5. #23486	C₂	semidirect
6. #21203	C₂	semidirect
7. C₂×#1961	C₂	semidirect
8. #21065	C₂	semidirect
9. #20799	C₂	semidirect
10. #20765	C₂	semidirect
11. #20375	C₂	semidirect
29. #2314	C₂²	semidirect
34. #2283	C₂²	semidirect
37. #2034	C₂²	semidirect
38. #2033	C₂²	semidirect
43. #1926	C₂²	semidirect
44. #1925	C₂²	semidirect
45. #1847	C₂²	semidirect
46. #1847	C₂²	semidirect
47. #1836	C₂²	semidirect
48. #1835	C₂²	semidirect
49. #1750	C₂²	semidirect
50. #1749	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35272	2
#34189	2
#27903	2
#27897	2
#23486	2
#21203	2
C₂×#1961	2
#21065	2
#20799	2
#20765	2
#20375	2