Subgroups — #6458765

Order 512.

1856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27902	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27892	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27889	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23484	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21064	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2857	C₂²	1	2	yes	—
23	#2857	C₂²	1	2	yes	—
24	#2621	C₂²	1	4	yes	—
25	#2547	—	2	2	no	—
26	#2546	—	2	2	no	—
27	#2486	—	2	4	no	—
28	#2355	—	2	2	no	—
29	#2354	—	2	2	no	—
30	#2352	—	2	4	no	—
31	#2314	C₂²	1	4	yes	—
32	#2311	C₂²	1	2	yes	—
33	#2310	C₂²	1	2	yes	—
34	#2285	C₂²	1	4	yes	—
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2274	C₂²	1	2	yes	—
39	#2036	C₂²	1	16	yes	—
40	#2035	C₂²	1	16	yes	—
41	#1960	C₂²	1	4	yes	—
42	#1956	C₂²	1	4	yes	—
43	#1956	C₂²	1	4	yes	—
44	#1956	C₂²	1	4	yes	—
45	#1928	C₂²	1	16	yes	—
46	#1927	C₂²	1	16	yes	—
47	#1847	C₂²	1	4	yes	—
48	#1845	C₂²	1	2	yes	—
49	#1844	C₂²	1	2	yes	—
50	#1835	C₂²	1	4	yes	—
51	#1834	C₂²	1	2	yes	—
52	#1834	C₂²	1	2	yes	—
53	#1750	C₂²	1	4	yes	—
54	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	#536	—	4	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#124	—	2	2	no	—
69	C₂×#123	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₄×#41	—	2	4	no	—
73	C₄×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×#117	—	2	4	no	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#428	—	4	8	no	—
88	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
90	#419	—	2	16	no	—
91	C₂×#103	—	4	8	no	—
92	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
94	#408	—	2	8	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#398	—	2	8	no	—
103	#397	—	2	8	no	—
104	#391	—	2	2	no	—
105	#391	—	2	4	no	—
106	#391	C₂³	1	4	yes	—
107	#391	C₂³	1	4	yes	—
108	#390	—	2	2	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#388	—	2	8	no	—
112	#387	—	2	8	no	—
113	#386	—	2	4	no	—
114	#384	—	2	2	no	—
115	#384	C₂³	1	2	yes	—
116	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#384	C₂³	1	2	yes	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	—	2	4	no	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	C₂³	1	2	yes	—
123	#381	—	2	4	no	—
124	#380	—	2	4	no	—
125	#380	—	2	4	no	—
126	#380	—	2	2	no	—
127	#380	—	2	4	no	—
128	#380	—	2	2	no	—
129	#380	C₂³	1	8	yes	—
130	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
135	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	#340	C₂³	1	8	yes	—
137	#340	C₂³	1	8	yes	—
138	#336	C₂³	1	8	yes	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	2	2	no	—
141	C₂×#41	—	2	4	no	—
142	C₂×#41	—	2	4	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
172	#124	—	4	8	no	—
173	#123	—	4	16	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₄×D₄	—	2	16	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	4	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	8	no	—
184	#117	—	2	8	no	—
185	#117	—	8	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	#107	—	4	8	no	—
226	#106	—	4	8	no	—
227	#103	—	2	32	no	—
228	#103	—	4	16	no	—
229	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	2	4	no	—
233	C₄×C₈	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	8	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	#41	—	4	8	no	—
243	#41	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
292	M₁₆	—	2	16	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
324	C₄²	—	2	8	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	2	2	no	—
327	C₄²	—	4	4	no	—
328	C₄²	—	4	4	no	—
329	C₄²	—	8	8	no	—
330	C₄²	#123	1	8	yes	—
331	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	2	4	no	—
341	C₂³	—	2	4	no	—
342	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
343	C₂³	#532	1	2	yes	—
344	C₂³	#535	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	8	no	—
348	Q₈	—	4	8	no	—
349	Q₈	—	8	8	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	16	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	16	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	8	no	—
377	C₂×C₄	—	16	4	no	—
378	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
384	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
385	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
391	C₈	—	2	8	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	#2500	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	8	4	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	#2500	1	4	yes	—
417	C₄	#3097	1	8	yes	—
418	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
419	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	8	2	no	—
422	C₂	C₂×#2500	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#3097	1	2	yes	—
424	C₂	#60723	1	2	yes	—
425	C₂	#60820	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#60821	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27902	C₂	semidirect
4. #27892	C₂	semidirect
5. #27889	C₂	semidirect
7. #21202	C₂	semidirect
8. C₂×#1956	C₂	semidirect
9. #21064	C₂	semidirect
10. #20800	C₂	semidirect
11. #20760	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35316	2
#34188	2
#27902	2
#27892	2
#27889	2
#23484	2
#21202	2
C₂×#1956	2
#21064	2
#20800	2
#20760	2
C₄×#408	2