Subgroups — #6458769

Order 512.

1850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 446 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#27903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#27902	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#27893	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23485	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21062	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#537	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2850	C₂²	1	4	yes	—
23	#2621	C₂²	1	2	yes	—
24	#2619	C₂²	1	2	yes	—
25	#2543	—	2	4	no	—
26	#2536	—	2	2	no	—
27	#2535	—	2	2	no	—
28	#2357	—	2	2	no	—
29	#2356	—	2	2	no	—
30	#2353	—	2	4	no	—
31	#2314	C₂²	1	4	yes	—
32	#2311	C₂²	1	2	yes	—
33	#2311	C₂²	1	2	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2283	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2274	C₂²	1	2	yes	—
39	#2036	C₂²	1	8	yes	—
40	#2035	C₂²	1	8	yes	—
41	#2034	C₂²	1	8	yes	—
42	#2033	C₂²	1	8	yes	—
43	#1961	C₂²	1	2	yes	—
44	#1960	C₂²	1	2	yes	—
45	#1958	C₂²	1	4	yes	—
46	#1958	C₂²	1	4	yes	—
47	#1957	C₂²	1	2	yes	—
48	#1956	C₂²	1	2	yes	—
49	#1928	C₂²	1	8	yes	—
50	#1927	C₂²	1	8	yes	—
51	#1926	C₂²	1	8	yes	—
52	#1925	C₂²	1	8	yes	—
53	#1847	C₂²	1	4	yes	—
54	#1846	C₂²	1	4	yes	—
55	#1835	C₂²	1	4	yes	—
56	#1835	C₂²	1	4	yes	—
57	#1750	C₂²	1	4	yes	—
58	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
59	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
60	#1729	C₂²	1	2	yes	—
61	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	#537	—	4	8	no	—
66	#532	—	2	4	no	—
67	#532	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#121	—	2	2	no	—
74	C₂×#121	—	2	4	no	—
75	C₂×#121	—	2	2	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₄×#41	—	2	4	no	—
78	C₄×#41	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#428	—	4	8	no	—
91	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
93	#417	—	2	16	no	—
94	#416	—	4	8	no	—
95	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
101	#408	—	2	8	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
103	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	#398	—	2	4	no	—
110	#397	—	2	4	no	—
111	#394	—	2	4	no	—
112	#392	—	2	4	no	—
113	#391	—	2	2	no	—
114	#391	C₂³	1	4	yes	—
115	#390	—	2	2	no	—
116	#390	C₂³	1	4	yes	—
117	#388	—	2	8	no	—
118	#388	—	2	8	no	—
119	#387	—	2	8	no	—
120	#386	—	2	4	no	—
121	#386	—	2	8	no	—
122	#386	—	2	4	no	—
123	#384	C₂³	1	2	yes	—
124	#383	—	2	4	no	—
125	#382	—	2	2	no	—
126	#382	—	2	2	no	—
127	#382	C₂³	1	2	yes	—
128	#382	C₂³	1	2	yes	—
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#382	C₂³	1	2	yes	—
131	#382	C₂³	1	2	yes	—
132	#381	—	2	4	no	—
133	#380	—	2	2	no	—
134	#380	—	2	4	no	—
135	#380	C₂³	1	8	yes	—
136	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
139	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	#376	—	2	4	no	—
142	C₂×#95	—	2	2	no	—
143	C₂×#95	—	2	2	no	—
144	#340	C₂³	1	8	yes	—
145	#340	C₂³	1	8	yes	—
146	#336	C₂³	1	8	yes	—
147	C₂×#41	—	2	2	no	—
148	C₂×#41	—	2	2	no	—
149	C₂×#41	—	2	4	no	—
150	C₂×#41	—	2	4	no	—
151	C₂×#41	—	2	4	no	—
152	C₂×#41	—	2	4	no	—
153	C₂×#41	—	2	8	no	—
154	C₂×#41	—	2	8	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
173	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
180	#127	—	2	2	no	—
181	#127	—	2	2	no	—
182	#124	—	2	4	no	—
183	#124	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
186	#121	—	4	8	no	—
187	#121	—	4	16	no	—
188	#121	—	4	8	no	—
189	#121	—	4	8	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
191	C₄×D₄	—	2	16	no	—
192	C₄×D₄	—	2	8	no	—
193	C₄×D₄	—	4	8	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	4	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	#107	—	4	8	no	—
231	#106	—	4	8	no	—
232	#103	—	2	16	no	—
233	#103	—	4	4	no	—
234	#103	—	4	4	no	—
235	#102	—	2	16	no	—
236	#102	—	4	4	no	—
237	#102	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
239	#97	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	2	4	no	—
242	C₄×C₈	—	2	4	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	—	2	4	no	—
245	#95	—	2	4	no	—
246	#95	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	2	8	no	—
249	#95	—	2	2	no	—
250	#95	—	2	8	no	—
251	#95	—	2	8	no	—
252	C₂⁴	—	2	2	no	—
253	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	#41	—	4	8	no	—
256	#41	—	4	8	no	—
257	#41	—	4	16	no	—
258	#41	—	4	16	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	2	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	4	8	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×D₄	—	8	4	no	—
282	C₂×D₄	—	8	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
310	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
312	M₁₆	—	2	16	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	2	4	no	—
316	C₂×C₈	—	2	4	no	—
317	C₂×C₈	—	2	4	no	—
318	C₂×C₈	—	4	8	no	—
319	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
339	C₄²	—	2	8	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₄²	—	2	2	no	—
342	C₄²	—	4	4	no	—
343	C₄²	—	8	8	no	—
344	C₄²	#123	1	8	yes	—
345	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
347	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
348	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
349	C₂³	—	2	4	no	—
350	C₂³	—	2	8	no	—
351	C₂³	—	2	2	no	—
352	C₂³	—	2	2	no	—
353	C₂³	—	2	2	no	—
354	C₂³	—	4	4	no	—
355	C₂³	—	4	4	no	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	4	2	no	—
358	C₂³	—	4	2	no	—
359	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
360	C₂³	#532	1	2	yes	—
361	C₂³	#535	1	2	yes	—
362	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
363	Q₈	—	4	4	no	—
364	Q₈	—	4	4	no	—
365	Q₈	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	8	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	8	no	—
372	D₄	—	16	8	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	8	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	8	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	2	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	8	no	—
394	C₂×C₄	—	8	8	no	—
395	C₂×C₄	—	16	4	no	—
396	C₂×C₄	—	16	4	no	—
397	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
399	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
403	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
404	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
408	C₈	—	2	8	no	—
409	C₈	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	2	4	no	—
411	C₂²	—	2	4	no	—
412	C₂²	—	2	4	no	—
413	C₂²	—	4	4	no	—
414	C₂²	—	4	4	no	—
415	C₂²	—	4	4	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	2	no	—
420	C₂²	—	8	2	no	—
421	C₂²	—	8	2	no	—
422	C₂²	#2500	1	4	yes	—
423	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
424	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#3584	1	4	yes	—
427	C₄	—	2	4	no	—
428	C₄	—	2	4	no	—
429	C₄	—	4	4	no	—
430	C₄	—	4	2	no	—
431	C₄	—	8	4	no	—
432	C₄	—	8	4	no	—
433	C₄	—	8	4	no	—
434	C₄	—	8	2	no	—
435	C₄	#2500	1	4	yes	—
436	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
437	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
438	C₂	—	2	4	no	—
439	C₂	—	8	2	no	—
440	C₂	—	16	2	no	—
441	C₂	C₂×#2500	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#60516	1	2	yes	—
443	C₂	#60724	1	2	yes	—
444	C₂	#60823	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35328	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34189	C₂	semidirect
3. #27903	C₂	semidirect
4. #27902	C₂	semidirect
5. #27893	C₂	semidirect
6. #23485	C₂	semidirect
7. #21201	C₂	semidirect
8. #21195	C₂	semidirect
9. #21062	C₂	semidirect
10. #20801	C₂	semidirect
11. C₂×#1835	C₂	semidirect
12. C₄×#408	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35328	2
#34189	2
#27903	2
#27902	2
#27893	2
#23485	2
#21201	2
#21195	2
#21062	2
#20801	2
C₂×#1835	2
C₄×#408	2