Subgroups — #6458772

Order 512.

1792 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#27900	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#27896	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23484	C₂	1	4	yes	maximal
6	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21064	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20762	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	4	yes	—
22	#2621	C₂²	1	4	yes	—
23	#2547	—	2	2	no	—
24	#2546	—	2	2	no	—
25	#2486	—	2	4	no	—
26	#2357	—	2	2	no	—
27	#2356	—	2	2	no	—
28	#2353	—	2	4	no	—
29	#2314	C₂²	1	4	yes	—
30	#2311	C₂²	1	2	yes	—
31	#2310	C₂²	1	2	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2283	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2274	C₂²	1	2	yes	—
37	#2036	C₂²	1	16	yes	—
38	#2035	C₂²	1	16	yes	—
39	#1960	C₂²	1	4	yes	—
40	#1960	C₂²	1	4	yes	—
41	#1960	C₂²	1	4	yes	—
42	#1956	C₂²	1	4	yes	—
43	#1928	C₂²	1	16	yes	—
44	#1927	C₂²	1	16	yes	—
45	#1847	C₂²	1	4	yes	—
46	#1846	C₂²	1	4	yes	—
47	#1836	C₂²	1	4	yes	—
48	#1836	C₂²	1	4	yes	—
49	#1750	C₂²	1	4	yes	—
50	#1749	C₂²	1	4	yes	—
51	#1735	C₂²	1	4	yes	—
52	#1729	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#536	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	C₂×#123	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₄×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#428	—	4	8	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
83	#419	—	2	16	no	—
84	C₂×#103	—	4	8	no	—
85	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
87	#408	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
89	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×#97	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#398	—	2	8	no	—
96	#397	—	2	8	no	—
97	#391	—	2	2	no	—
98	#391	—	2	4	no	—
99	#391	C₂³	1	8	yes	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#389	—	2	8	no	—
102	#388	—	2	8	no	—
103	#387	—	2	8	no	—
104	#386	—	2	4	no	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	#384	C₂³	1	2	yes	—
107	#383	—	2	4	no	—
108	#382	—	2	2	no	—
109	#382	C₂³	1	2	yes	—
110	#382	C₂³	1	2	yes	—
111	#382	C₂³	1	2	yes	—
112	#382	C₂³	1	2	yes	—
113	#381	—	2	4	no	—
114	#381	—	2	4	no	—
115	#380	—	2	8	no	—
116	#380	—	2	2	no	—
117	#380	—	2	2	no	—
118	#380	C₂³	1	8	yes	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	#376	—	2	4	no	—
126	C₂×#95	—	2	2	no	—
127	#340	C₂³	1	8	yes	—
128	#340	C₂³	1	8	yes	—
129	#336	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×#41	—	2	2	no	—
131	C₂×#41	—	2	2	no	—
132	C₂×#41	—	2	4	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
163	#124	—	4	8	no	—
164	#123	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	16	no	—
169	C₄×D₄	—	2	8	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	8	no	—
175	#117	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
203	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	#107	—	4	8	no	—
208	#106	—	4	8	no	—
209	#103	—	2	32	no	—
210	#103	—	4	16	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
212	#97	—	2	4	no	—
213	#97	—	2	4	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	4	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	#95	—	2	8	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	16	no	—
224	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	4	8	no	—
227	#41	—	4	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	2	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	—	8	8	no	—
305	C₄²	#123	1	8	yes	—
306	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
316	C₂³	#532	1	2	yes	—
317	C₂³	#535	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	4	no	—
320	Q₈	—	4	8	no	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	Q₈	—	8	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	—	16	4	no	—
348	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
359	C₈	—	2	8	no	—
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	#2500	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#3586	1	4	yes	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	4	no	—
379	C₄	—	8	4	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	#2500	1	4	yes	—
382	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
383	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	8	2	no	—
386	C₂	C₂×#2500	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#60519	1	2	yes	—
388	C₂	#60726	1	2	yes	—
389	C₂	#60828	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #27900	C₂	semidirect
4. #27896	C₂	semidirect
6. #21202	C₂	semidirect
7. C₂×#1960	C₂	semidirect
8. #21064	C₂	semidirect
9. #20801	C₂	semidirect
10. #20762	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35316	2
#34189	2
#27900	2
#27896	2
#23484	2
#21202	2
C₂×#1960	2
#21064	2
#20801	2
#20762	2
#20375	2