Subgroups — #6462898

Order 512.

2264 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60424	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#60143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#28179	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#28176	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2020	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#21006	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20768	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
14	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
16	#3044	—	2	8	no	—
17	#3043	—	2	8	no	—
18	#3037	C₂²	1	16	yes	—
19	#2950	—	2	8	no	—
20	C₂×#441	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#2933	—	2	8	no	—
23	#2932	C₂²	1	4	yes	—
24	#2931	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2905	C₂²	1	2	yes	—
27	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2896	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2079	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#2078	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2020	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#2020	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1908	C₂²	1	32	yes	complemented
38	#1838	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1837	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1801	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1742	C₂²	1	4	yes	—
42	#1738	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#137	—	2	8	no	—
47	C₂×#137	—	2	16	no	—
48	C₂×#137	—	4	8	no	—
49	C₂×#137	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
56	#568	—	4	8	no	—
57	C₂×#131	—	2	4	no	—
58	C₂×#131	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#537	—	2	2	no	—
65	#536	D₄	1	4	yes	—
66	#535	D₄	1	4	yes	—
67	#534	—	2	2	no	—
68	#532	C₂³	1	4	yes	—
69	#525	—	2	4	no	—
70	#519	—	2	8	no	—
71	#519	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×#117	—	2	4	no	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#464	—	2	32	no	—
78	#462	—	2	16	no	—
79	#460	—	2	16	no	—
80	#441	—	2	16	no	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
82	#436	—	2	8	no	—
83	#435	—	2	16	no	—
84	C₈×D₄	—	2	8	no	—
85	#427	—	2	4	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
88	#424	—	2	4	no	—
89	#424	—	2	8	no	—
90	#423	C₂³	1	4	yes	—
91	#423	C₂³	1	8	yes	—
92	#419	—	2	4	no	—
93	#419	—	2	8	no	—
94	#418	—	2	4	no	—
95	#417	C₂³	1	16	yes	—
96	#416	—	2	8	no	—
97	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#101	—	4	8	no	—
99	C₂×#101	C₂³	1	16	yes	—
100	#408	—	2	4	no	—
101	#408	C₂³	1	4	yes	—
102	#408	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	#405	D₄	1	8	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#343	C₂³	1	16	yes	—
108	#341	C₂³	1	4	yes	—
109	#341	C₂³	1	4	yes	—
110	#341	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	8	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	#137	—	2	32	no	—
132	#137	—	4	16	no	—
133	#137	—	4	32	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
143	#131	—	4	16	no	—
144	#131	—	4	16	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	#123	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
169	#121	—	2	8	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#120	—	2	8	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
175	C₄×D₄	—	2	8	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	4	16	no	—
179	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
189	#107	—	2	4	no	—
190	#106	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
193	#103	—	2	16	no	—
194	#103	—	2	16	no	—
195	#102	—	2	16	no	—
196	#101	—	4	16	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
199	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	#41	—	2	16	no	—
204	#41	—	2	8	no	—
205	#41	—	2	8	no	—
206	#41	—	4	4	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×Q₈	C₂×#41	1	8	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	—	2	16	no	—
250	Q₁₆	—	2	16	no	—
251	Q₁₆	—	4	32	no	—
252	SD₁₆	—	4	32	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	2	8	no	—
255	M₁₆	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	4	16	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	16	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₄⋊C₄	#121	1	8	yes	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	#121	1	8	yes	—
280	C₄²	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	16	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	8	4	no	—
288	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
289	C₂³	#553	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	8	no	—
292	Q₈	—	2	8	no	—
293	Q₈	—	2	8	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	4	16	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	2	8	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	16	4	no	—
336	C₂²	#2535	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#553	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	8	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	4	8	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	#2535	1	4	yes	—
344	C₄	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#546	1	2	yes	—
347	C₂	—	2	4	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	8	4	no	—
350	C₂	C₂×#2535	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#60472	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2950	C₂	semidirect
4. #28179	C₂	semidirect
5. #28176	C₂	semidirect
6. #23646	C₂	semidirect
7. C₂×#2020	C₂	semidirect
8. #21006	C₂	semidirect
9. #20768	C₂	semidirect
10. #20639	C₂	semidirect
20. C₂×#441	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
33. #2079	C₂²	semidirect
34. #2078	C₂²	semidirect
35. #2020	C₂²	semidirect
36. #2020	C₂²	semidirect
37. #1908	C₂²	semidirect
38. #1838	C₂²	semidirect
39. #1837	C₂²	semidirect
40. #1801	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60424	2
C₂×#2950	2
#60143	2
#28179	2
#28176	2
#23646	2
C₂×#2020	2
#21006	2
#20768	2
#20639	2