Subgroups — #6463667

Order 512.

1866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35286	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29200	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29193	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23611	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21200	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20881	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2859	C₂²	1	4	yes	—
22	#2647	C₂²	1	4	yes	—
23	#2571	—	2	2	no	—
24	#2552	—	2	2	no	—
25	#2442	—	2	4	no	—
26	#2361	—	2	4	no	—
27	#2354	—	2	2	no	—
28	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	#2326	C₂²	1	4	yes	—
30	#2317	C₂²	1	2	yes	—
31	#2316	C₂²	1	2	yes	—
32	#2311	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2068	C₂²	1	16	yes	—
40	#2067	C₂²	1	16	yes	—
41	#1959	C₂²	1	4	yes	—
42	#1958	C₂²	1	4	yes	—
43	#1957	C₂²	1	2	yes	—
44	#1957	C₂²	1	2	yes	—
45	#1956	C₂²	1	2	yes	—
46	#1956	C₂²	1	2	yes	—
47	#1863	C₂²	1	16	yes	—
48	#1862	C₂²	1	16	yes	—
49	#1845	C₂²	1	4	yes	—
50	#1845	C₂²	1	4	yes	—
51	#1836	C₂²	1	4	yes	—
52	#1834	C₂²	1	4	yes	—
53	#1768	C₂²	1	4	yes	—
54	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
55	#1736	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#532	—	2	4	no	—
61	#532	Q₈	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#125	—	2	4	no	—
65	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	#520	—	4	8	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#117	—	2	2	no	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	—	4	8	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
85	#424	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	#417	—	4	8	no	—
88	#416	—	2	16	no	—
89	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
93	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#400	—	2	8	no	—
100	#398	—	2	8	no	—
101	#391	C₂³	1	4	yes	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	C₂³	1	4	yes	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	C₂³	1	8	yes	—
109	#389	C₂³	1	8	yes	—
110	#388	—	2	8	no	—
111	#386	—	2	4	no	—
112	#385	—	2	4	no	—
113	#385	—	2	8	no	—
114	#384	—	2	2	no	—
115	#384	—	2	2	no	—
116	#384	—	2	2	no	—
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#384	C₂³	1	2	yes	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#384	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	—	2	2	no	—
123	#382	—	2	4	no	—
124	#382	C₂³	1	2	yes	—
125	#380	—	2	2	no	—
126	#380	—	2	4	no	—
127	#380	—	2	4	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
132	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
133	#376	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
135	#340	C₂³	1	16	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂×#41	—	2	4	no	—
138	C₂×#41	—	2	8	no	—
139	C₂×#41	—	2	8	no	—
140	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
141	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
163	#125	—	8	8	no	—
164	#124	—	2	4	no	—
165	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
166	#121	—	2	16	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	16	no	—
169	C₄×D₄	—	4	8	no	—
170	C₄×D₄	—	4	16	no	—
171	C₄×D₄	—	8	8	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	8	no	—
175	#117	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	#107	—	4	16	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
218	#103	—	2	16	no	—
219	#103	—	4	8	no	—
220	#102	—	2	16	no	—
221	#102	—	4	8	no	—
222	#97	—	2	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	4	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	#95	—	2	4	no	—
227	#95	—	2	8	no	—
228	#95	—	2	8	no	—
229	#95	—	2	8	no	—
230	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₂⁴	—	2	2	no	—
233	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	#41	—	2	32	no	—
235	#41	—	4	16	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	M₁₆	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	16	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
309	C₄²	—	2	8	no	—
310	C₄²	—	2	8	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	4	8	no	—
314	C₄²	—	4	4	no	—
315	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
316	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	4	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
328	C₂³	#532	1	2	yes	—
329	C₂³	#535	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	8	no	—
332	Q₈	—	4	4	no	—
333	D₄	—	2	8	no	—
334	D₄	—	4	16	no	—
335	D₄	—	4	16	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	16	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	16	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	16	8	no	—
359	C₂×C₄	—	16	4	no	—
360	C₂×C₄	—	16	4	no	—
361	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
368	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	8	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	#2566	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	#2566	1	4	yes	—
400	C₄	#3083	1	8	yes	—
401	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
402	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	8	4	no	—
405	C₂	C₂×#2566	1	1	yes	characteristic
406	C₂	C₂×#3083	1	2	yes	—
407	C₂	#60718	1	2	yes	—
408	C₂	#60817	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#60821	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35286	C₂	semidirect
3. #29200	C₂	semidirect
4. #29193	C₂	semidirect
5. #29192	C₂	semidirect
6. #23611	C₂	semidirect
9. #20881	C₂	semidirect
10. C₂×#1845	C₂	semidirect
11. #20764	C₂	semidirect
12. C₄×#424	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35286	2
#34207	2
#29200	2
#29193	2
#29192	2
#23611	2
#21200	2
#21195	2
#20881	2
C₂×#1845	2
#20764	2
C₄×#424	2