Subgroups — #6463670

Order 512.

1998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29204	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29195	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23612	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20879	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2864	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#2647	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#2570	—	2	4	no	—
23	#2569	—	2	4	no	—
24	#2366	—	2	4	no	—
25	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
26	#2328	C₂²	1	4	yes	—
27	#2317	C₂²	1	2	yes	—
28	#2316	C₂²	1	2	yes	—
29	#2309	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
31	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2067	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#2065	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1961	C₂²	1	4	yes	—
38	#1961	C₂²	1	4	yes	—
39	#1961	C₂²	1	4	yes	—
40	#1957	C₂²	1	4	yes	—
41	#1864	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1862	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1768	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1736	C₂²	1	4	yes	—
50	#1729	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	4	no	—
57	C₂×#127	Q₈	1	8	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	#518	—	4	8	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#427	—	4	8	no	—
72	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
74	#424	—	2	8	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
76	#418	—	4	8	no	—
77	C₂×#102	—	2	16	no	—
78	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	#400	—	2	8	no	—
88	#398	—	2	8	no	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	—	2	8	no	—
91	#390	C₂³	1	8	yes	—
92	#389	—	2	4	no	—
93	#389	C₂³	1	8	yes	—
94	#389	C₂³	1	8	yes	—
95	#387	—	2	16	no	—
96	#386	—	2	16	no	—
97	#385	—	2	4	no	—
98	#384	—	2	2	no	—
99	#384	C₂³	1	2	yes	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	#382	—	2	2	no	—
103	#382	C₂³	1	2	yes	—
104	#382	C₂³	1	2	yes	—
105	#382	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	C₂³	1	2	yes	—
107	#380	—	2	2	no	—
108	#380	—	2	2	no	—
109	#380	—	2	4	no	—
110	#379	—	2	4	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
115	#376	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×#95	—	2	2	no	—
117	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
118	#340	C₂³	1	16	yes	—
119	#336	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂⁵	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
143	#127	—	2	16	no	—
144	#127	—	2	4	no	—
145	#127	—	2	4	no	—
146	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
148	C₄×D₄	—	4	16	no	—
149	C₄×D₄	—	4	16	no	—
150	C₄×D₄	—	8	16	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	8	no	—
154	#117	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	#107	—	4	8	no	—
184	#106	—	4	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#102	—	2	16	no	—
187	#102	—	2	16	no	—
188	#102	—	4	16	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	4	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	8	8	no	—
205	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	16	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	32	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	8	8	no	—
218	C₂×D₄	—	8	32	no	—
219	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
239	M₁₆	—	4	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	16	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
269	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	16	no	—
279	C₂³	—	8	16	no	—
280	C₂³	—	16	8	no	—
281	C₂³	—	16	8	no	—
282	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₂³	#532	1	2	yes	—
284	C₂³	#535	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
286	D₄	—	2	16	no	—
287	D₄	—	4	32	no	—
288	D₄	—	4	16	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	8	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	16	16	no	—
306	C₂×C₄	—	16	4	no	—
307	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
318	C₈	—	2	8	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	4	16	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	—	8	8	no	—
326	C₂²	—	8	8	no	—
327	C₂²	—	16	16	no	—
328	C₂²	#2566	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3585	1	4	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	#2566	1	4	yes	—
341	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	8	8	no	—
345	C₂	C₂×#2566	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#60490	1	2	yes	—
347	C₂	#60719	1	2	yes	—
348	C₂	#60830	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35339	C₂	semidirect
3. #29204	C₂	semidirect
4. #29195	C₂	semidirect
5. #23612	C₂	semidirect
8. #20879	C₂	semidirect
9. #20799	C₂	semidirect
10. #20765	C₂	semidirect
11. #20427	C₂	semidirect
20. #2864	C₂²	semidirect
21. #2647	C₂²	semidirect
35. #2067	C₂²	semidirect
36. #2065	C₂²	semidirect
41. #1864	C₂²	semidirect
42. #1862	C₂²	semidirect
43. #1847	C₂²	semidirect
44. #1847	C₂²	semidirect
45. #1836	C₂²	semidirect
46. #1835	C₂²	semidirect
47. #1768	C₂²	semidirect
48. #1767	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35339	2
#34210	2
#29204	2
#29195	2
#23612	2
#21203	2
C₂×#1961	2
#20879	2
#20799	2
#20765	2
#20427	2