Subgroups — #6463677

Order 512.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29203	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29194	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23614	C₂	1	2	yes	maximal
7	#21204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20877	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20876	C₂	1	2	yes	maximal
11	#20801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2864	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#2647	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#2570	—	2	4	no	—
29	#2569	—	2	4	no	—
30	#2367	—	2	4	no	—
31	#2342	—	2	4	no	—
32	#2326	C₂²	1	4	yes	—
33	#2317	C₂²	1	2	yes	—
34	#2316	C₂²	1	2	yes	—
35	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
38	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#2068	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#2067	C₂²	1	8	yes	—
44	#2066	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#2065	C₂²	1	8	yes	—
46	#1959	C₂²	1	4	yes	—
47	#1958	C₂²	1	4	yes	—
48	#1958	C₂²	1	4	yes	—
49	#1958	C₂²	1	4	yes	—
50	#1865	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#1864	C₂²	1	8	yes	—
52	#1863	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#1862	C₂²	1	8	yes	—
54	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#1846	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#1768	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#1735	C₂²	1	2	yes	—
61	#1735	C₂²	1	2	yes	—
62	#1729	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#124	—	2	2	no	—
68	C₂×#124	—	2	4	no	—
69	C₂×#124	Q₈	1	8	yes	—
70	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
72	#519	—	4	4	no	—
73	#518	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#117	—	2	2	no	—
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#428	—	4	4	no	—
89	#428	—	4	4	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
94	#424	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	#419	—	2	8	no	—
97	#418	—	2	8	no	—
98	C₂×#103	—	4	4	no	—
99	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#102	—	4	4	no	—
102	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
104	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#400	—	2	8	no	—
111	#398	—	2	8	no	—
112	#391	—	2	2	no	—
113	#391	C₂³	1	4	yes	—
114	#390	—	2	2	no	—
115	#390	C₂³	1	4	yes	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	C₂³	1	8	yes	—
118	#389	C₂³	1	8	yes	—
119	#388	—	2	8	no	—
120	#388	—	2	8	no	—
121	#387	—	2	16	no	—
122	#385	—	2	4	no	—
123	#385	—	2	8	no	—
124	#384	—	2	2	no	—
125	#384	C₂³	1	2	yes	—
126	#384	C₂³	1	2	yes	—
127	#382	—	2	2	no	—
128	#382	—	2	2	no	—
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#382	C₂³	1	2	yes	—
131	#382	C₂³	1	2	yes	—
132	#382	C₂³	1	2	yes	—
133	#381	—	2	2	no	—
134	#380	—	2	2	no	—
135	#380	—	2	2	no	—
136	#380	—	2	4	no	—
137	#379	—	2	2	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
141	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
143	#376	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×#95	—	2	2	no	—
145	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
146	#340	C₂³	1	4	yes	—
147	#340	C₂³	1	4	yes	—
148	#340	C₂³	1	4	yes	—
149	#340	C₂³	1	4	yes	—
150	#336	C₂³	1	8	yes	—
151	C₂⁵	—	2	1	no	—
152	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
157	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
163	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
172	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
177	#124	—	2	16	no	—
178	#124	—	2	4	no	—
179	#124	—	2	4	no	—
180	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
181	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
182	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
185	C₄×D₄	—	4	4	no	—
186	C₄×D₄	—	4	4	no	—
187	C₄×D₄	—	4	8	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	2	4	no	—
193	#117	—	2	4	no	—
194	#117	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	#107	—	4	4	no	—
233	#107	—	4	4	no	—
234	#106	—	4	4	no	—
235	#106	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
237	#103	—	2	16	no	—
238	#103	—	4	8	no	—
239	#102	—	2	16	no	—
240	#102	—	4	8	no	—
241	#97	—	2	4	no	—
242	C₄×C₈	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	2	4	no	—
244	C₄×C₈	—	2	4	no	—
245	#95	—	2	4	no	—
246	#95	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	4	no	—
248	#95	—	2	8	no	—
249	#95	—	2	4	no	—
250	#95	—	2	8	no	—
251	#95	—	2	8	no	—
252	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	C₂⁴	—	2	2	no	—
254	C₂⁴	—	2	4	no	—
255	C₂⁴	—	4	2	no	—
256	C₂⁴	—	4	2	no	—
257	C₂⁴	—	8	4	no	—
258	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
267	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	16	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	2	no	—
275	C₂×D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
301	M₁₆	—	2	16	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	8	no	—
308	C₂×C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
324	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	2	4	no	—
336	C₄²	—	4	8	no	—
337	C₄²	—	4	8	no	—
338	C₄²	—	4	4	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
342	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
344	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	—	2	4	no	—
348	C₂³	—	4	8	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	2	no	—
351	C₂³	—	4	8	no	—
352	C₂³	—	8	8	no	—
353	C₂³	—	16	4	no	—
354	C₂³	—	16	4	no	—
355	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
356	C₂³	#532	1	2	yes	—
357	C₂³	#535	1	2	yes	—
358	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
359	Q₈	—	2	8	no	—
360	Q₈	—	4	8	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	D₄	—	2	8	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	8	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	8	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	16	8	no	—
386	C₂×C₄	—	16	4	no	—
387	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
393	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
394	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
398	C₈	—	2	8	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	2	4	no	—
403	C₂²	—	4	8	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	16	8	no	—
408	C₂²	#2566	1	4	yes	—
409	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#3584	1	4	yes	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	4	4	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	8	4	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	#2566	1	4	yes	—
423	C₄	C₂×#553	1	2	yes	—
424	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
425	C₂	—	2	4	no	—
426	C₂	—	8	4	no	—
427	C₂	C₂×#2566	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#60489	1	2	yes	—
429	C₂	#60724	1	2	yes	—
430	C₂	#60819	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35339	C₂	semidirect
3. #29203	C₂	semidirect
4. #29194	C₂	semidirect
5. #23615	C₂	semidirect
9. #20877	C₂	semidirect
11. #20801	C₂	semidirect
12. #20760	C₂	semidirect
13. C₄×#424	C₂	semidirect
26. #2864	C₂²	semidirect
27. #2647	C₂²	semidirect
42. #2068	C₂²	semidirect
44. #2066	C₂²	semidirect
50. #1865	C₂²	semidirect
52. #1863	C₂²	semidirect
54. #1847	C₂²	semidirect
55. #1846	C₂²	semidirect
56. #1835	C₂²	semidirect
57. #1834	C₂²	semidirect
58. #1768	C₂²	semidirect
59. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35339	2
#34211	2
#29203	2
#29194	2
#23615	2
#23614	2
#21204	2
C₂×#1958	2
#20877	2
#20876	2
#20801	2
#20760	2
C₄×#424	2