Subgroups — #6465513

Order 512.

2464 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#60424	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#60140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#28244	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28241	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23532	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20678	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#473	—	2	16	no	—
17	C₂×#473	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#473	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#3044	—	2	8	no	—
20	#3043	—	2	8	no	—
21	#3037	C₂²	1	16	yes	—
22	#2950	—	2	4	no	—
23	#2950	—	2	4	no	—
24	C₂×#441	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#2932	C₂²	1	4	yes	—
27	#2931	C₂²	1	4	yes	—
28	#2930	—	2	4	no	—
29	#2929	—	2	4	no	—
30	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2905	C₂²	1	2	yes	—
34	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2896	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
38	#2879	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2052	C₂²	1	32	yes	complemented
41	#1849	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1848	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1816	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#1815	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1801	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1742	C₂²	1	4	yes	—
47	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#137	—	2	8	no	—
50	C₂×#137	—	2	16	no	—
51	C₂×#137	—	4	8	no	—
52	C₂×#137	C₂³	1	16	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×#131	—	2	2	no	—
62	C₂×#131	—	2	2	no	—
63	C₂×#131	—	2	8	no	—
64	C₂×#131	—	2	8	no	—
65	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#537	—	2	2	no	—
74	#536	D₄	1	4	yes	—
75	#535	D₄	1	4	yes	—
76	#534	—	2	2	no	—
77	#532	C₂³	1	4	yes	—
78	#525	—	2	4	no	—
79	#519	—	2	8	no	—
80	#519	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#117	—	2	4	no	—
84	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#473	—	2	32	no	—
87	#473	—	2	32	no	—
88	#464	—	2	32	no	—
89	#462	—	2	16	no	—
90	#460	—	2	16	no	—
91	#441	—	2	16	no	—
92	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
93	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
94	#436	—	2	8	no	—
95	#435	—	2	16	no	—
96	C₈×D₄	—	2	8	no	—
97	#430	—	4	4	no	—
98	C₂×#108	—	2	8	no	—
99	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
102	#427	—	2	2	no	—
103	#427	—	2	2	no	—
104	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
106	#424	—	2	4	no	—
107	#424	—	2	8	no	—
108	#423	C₂³	1	4	yes	—
109	#423	C₂³	1	8	yes	—
110	#419	—	2	4	no	—
111	#419	—	2	8	no	—
112	#418	—	2	4	no	—
113	#417	C₂³	1	16	yes	—
114	#416	—	2	8	no	—
115	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#101	—	2	16	no	—
117	C₂×#101	C₂³	1	16	yes	—
118	#408	—	2	4	no	—
119	#408	C₂³	1	8	yes	—
120	#407	—	2	4	no	—
121	#405	D₄	1	4	yes	—
122	#405	D₄	1	4	yes	—
123	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
125	#343	C₂³	1	16	yes	—
126	C₂×#41	—	2	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂×#41	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	2	4	no	—
132	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#137	—	2	32	no	—
149	#137	—	4	16	no	—
150	#137	—	4	32	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
160	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
164	#131	—	2	8	no	—
165	#131	—	2	8	no	—
166	#131	—	2	8	no	—
167	#131	—	2	8	no	—
168	#131	—	4	8	no	—
169	#131	—	4	8	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
180	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
184	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	#123	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
201	#121	—	2	8	no	—
202	#121	—	2	8	no	—
203	#120	—	2	8	no	—
204	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
205	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
206	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₄×D₄	—	2	8	no	—
208	#117	—	2	4	no	—
209	#117	—	2	4	no	—
210	#117	—	4	16	no	—
211	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
221	#108	—	2	8	no	—
222	#108	—	2	8	no	—
223	#108	—	4	8	no	—
224	#107	—	2	2	no	—
225	#107	—	2	2	no	—
226	#106	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
229	#103	—	2	16	no	—
230	#103	—	2	16	no	—
231	#102	—	2	16	no	—
232	#101	—	2	32	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
234	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
236	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	C₂⁴	—	2	2	no	—
238	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	#41	—	2	8	no	—
240	#41	—	2	8	no	—
241	#41	—	2	4	no	—
242	#41	—	2	4	no	—
243	#41	—	2	4	no	—
244	#41	—	2	4	no	—
245	#41	—	4	4	no	—
246	#41	—	4	4	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
265	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	8	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	Q₁₆	—	2	8	no	—
295	Q₁₆	—	2	16	no	—
296	Q₁₆	—	2	8	no	—
297	Q₁₆	—	4	32	no	—
298	SD₁₆	—	4	32	no	—
299	M₁₆	—	2	8	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	2	8	no	—
302	M₁₆	—	2	4	no	—
303	M₁₆	—	2	8	no	—
304	M₁₆	—	4	4	no	—
305	M₁₆	—	4	8	no	—
306	M₁₆	—	4	8	no	—
307	M₁₆	—	4	8	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	8	no	—
312	C₂×C₈	—	4	4	no	—
313	C₂×C₈	—	4	8	no	—
314	C₂×C₈	—	4	8	no	—
315	C₂×C₈	—	4	8	no	—
316	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
317	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
318	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
319	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
330	C₄⋊C₄	#121	1	8	yes	—
331	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	#121	1	8	yes	—
334	C₄²	—	4	4	no	—
335	C₄²	—	4	16	no	—
336	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
337	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
338	C₂³	—	2	4	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	4	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂³	#547	1	2	yes	—
344	C₂³	#555	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	2	8	no	—
347	Q₈	—	2	8	no	—
348	Q₈	—	2	4	no	—
349	Q₈	—	2	4	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	4	16	no	—
353	Q₈	—	4	4	no	—
354	D₄	—	2	4	no	—
355	D₄	—	2	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	8	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	16	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
387	C₈	—	2	4	no	—
388	C₈	—	4	4	no	—
389	C₈	—	4	8	no	—
390	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
391	C₈	C₂×#121	1	4	yes	—
392	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	8	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	8	8	no	—
400	C₂²	#2537	1	4	yes	—
401	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#555	1	1	yes	characteristic
404	C₄	—	2	8	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	8	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	#2537	1	4	yes	—
409	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
410	C₄	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
411	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
412	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
413	C₂	—	2	4	no	—
414	C₂	—	2	1	no	—
415	C₂	—	2	1	no	—
416	C₂	—	8	4	no	—
417	C₂	C₂×#2537	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#60472	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#473	C₂	semidirect
3. C₂×#2950	C₂	semidirect
5. #28244	C₂	semidirect
6. #28241	C₂	semidirect
7. #23532	C₂	semidirect
8. #20807	C₂	semidirect
9. #20678	C₂	semidirect
10. #20639	C₂	semidirect
17. C₂×#473	C₂²	semidirect
18. C₂×#473	C₂²	semidirect
24. C₂×#441	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
40. #2052	C₂²	semidirect
41. #1849	C₂²	semidirect
42. #1848	C₂²	semidirect
43. #1816	C₂²	semidirect
44. #1815	C₂²	semidirect
45. #1801	C₂²	semidirect
57. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#473	2
#60424	2
C₂×#2950	2
#60140	2
#28244	2
#28241	2
#23532	2
#20807	2
#20678	2
#20639	2