Subgroups — C₂×#28497 #6465585

Order 512.

3406 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3151	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28497	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#2018	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	#3151	—	2	8	no	—
16	#3151	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×#496	—	2	4	no	—
18	C₂×#493	—	2	2	no	—
19	C₂×#493	—	2	2	no	—
20	C₂×#493	—	2	4	no	—
21	C₂×#493	—	2	2	no	—
22	C₂×#493	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#492	—	2	2	no	—
24	C₂×#472	—	2	32	no	—
25	C₂×#472	C₂²	1	32	yes	complemented
26	#2931	—	2	4	no	—
27	#2931	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#436	—	2	2	no	—
29	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
30	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2018	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1965	C₂²	1	16	yes	complemented
38	C₄×#108	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
46	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	32	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
55	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#131	—	2	4	no	—
59	C₂×#131	—	2	16	no	—
60	C₂×#131	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#532	—	2	2	no	—
68	#532	—	2	2	no	—
69	#532	D₄	1	4	yes	—
70	#532	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#127	—	2	2	no	—
73	C₂×#127	—	2	4	no	—
74	C₂×#127	—	2	4	no	—
75	C₂×#127	—	2	2	no	—
76	C₂×#127	—	2	4	no	—
77	C₂×#127	—	2	4	no	—
78	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#121	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#496	—	2	32	no	—
85	#493	—	2	16	no	—
86	#493	—	2	16	no	—
87	#493	—	2	16	no	—
88	#492	—	2	16	no	—
89	#472	—	2	128	no	—
90	#436	—	2	16	no	—
91	C₈×D₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#108	D₄	1	16	yes	complemented
93	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
94	#423	—	2	2	no	—
95	#423	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×#100	—	2	32	no	—
98	C₂×#100	C₂³	1	32	yes	—
99	#408	—	2	4	no	—
100	#408	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#97	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#341	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂⁵	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
133	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	AGL(1,ℤ/8)	—	2	64	no	—
139	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
140	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
143	C₂×D₈	—	2	32	no	—
144	C₂×D₈	—	2	32	no	—
145	C₂×D₈	—	2	16	no	—
146	C₂×D₈	—	2	8	no	—
147	C₂×D₈	—	2	8	no	—
148	C₂×D₈	—	4	16	no	—
149	C₂×D₈	—	4	32	no	—
150	C₂×D₈	—	4	16	no	—
151	C₂×D₈	—	4	16	no	—
152	C₂×D₈	—	4	8	no	—
153	C₂×D₈	—	4	8	no	—
154	C₂×D₈	—	4	16	no	—
155	#131	—	2	32	no	—
156	#131	—	4	16	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
163	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	#127	—	2	2	no	—
182	#127	—	2	8	no	—
183	#127	—	2	16	no	—
184	#127	—	2	8	no	—
185	#127	—	4	8	no	—
186	#127	—	4	4	no	—
187	#127	—	4	4	no	—
188	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	#124	—	2	4	no	—
190	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	#121	—	2	8	no	—
192	#121	—	2	8	no	—
193	C₄×D₄	—	2	8	no	—
194	C₄×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
204	#108	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
205	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
206	#100	—	2	64	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
208	#97	—	2	8	no	—
209	C₄×C₈	—	2	8	no	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
212	C₂⁴	—	2	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	8	no	—
214	C₂⁴	—	4	4	no	—
215	C₂⁴	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	16	no	—
217	C₂⁴	—	8	16	no	—
218	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	2	16	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	16	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	16	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	16	no	—
247	C₂×D₄	—	4	16	no	—
248	C₂×D₄	—	4	16	no	—
249	C₂×D₄	—	4	8	no	—
250	C₂×D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×D₄	—	8	32	no	—
252	C₂×D₄	—	8	32	no	—
253	C₂×D₄	—	8	16	no	—
254	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	SD₁₆	—	4	64	no	—
274	D₈	—	4	64	no	—
275	D₈	—	4	32	no	—
276	D₈	—	4	16	no	—
277	D₈	—	4	16	no	—
278	M₁₆	—	2	16	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	M₁₆	—	4	16	no	—
283	M₁₆	C₂²×D₄	1	16	yes	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	16	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	16	no	—
292	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
295	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
301	C₄²	#121	1	4	yes	—
302	C₄²	#121	1	2	yes	—
303	C₄²	#121	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	16	no	—
313	C₂³	—	8	16	no	—
314	C₂³	—	8	16	no	—
315	C₂³	—	8	8	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	8	16	no	—
318	C₂³	—	16	32	no	—
319	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#550	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	8	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	D₄	—	2	8	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	16	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	16	no	—
333	D₄	—	8	32	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	D₄	—	8	8	no	—
336	D₄	—	8	32	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	#472	1	8	yes	complemented
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
361	C₈	—	2	4	no	—
362	C₈	—	2	16	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
365	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	8	8	no	—
372	C₂²	—	8	16	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	16	16	no	—
375	C₂²	—	16	16	no	—
376	C₂²	—	16	16	no	—
377	C₂²	#2541	1	2	yes	—
378	C₂²	#2541	1	2	yes	—
379	C₂²	C₂×#472	1	4	yes	—
380	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	#2541	1	2	yes	—
385	C₄	#2541	1	2	yes	—
386	C₄	C₂×#472	1	8	yes	complemented
387	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	2	2	no	—
392	C₂	—	8	4	no	—
393	C₂	—	16	8	no	—
394	C₂	#28497	1	4	yes	direct product factor
395	C₂	C₂×#2541	1	1	yes	characteristic
396	C₂	C₂²×#472	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3151	C₂	semidirect
2. C₂²×#493	C₂	semidirect
3. C₂²×#472	C₂	semidirect
4. C₂×#2931	C₂	semidirect
5. #28497	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#2018	C₂	semidirect
7. C₂×#1965	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
16. #3151	C₂²	semidirect
22. C₂×#493	C₂²	semidirect
25. C₂×#472	C₂²	semidirect
27. #2931	C₂²	semidirect
36. #2018	C₂²	semidirect
37. #1965	C₂²	semidirect
38. C₄×#108	C₂²	semidirect
92. C₂×#108	D₄	semidirect
204. #108	C₂×D₄	semidirect
345. C₂×C₄	#472	semidirect
386. C₄	C₂×#472	semidirect
394. C₂	#28497	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3151	2
C₂²×#493	2
C₂²×#472	2
C₂×#2931	2
#28497	2
C₂×#2018	2
C₂×#1965	2
C₂×C₄×#108	2

Subgroups — C2×#28497 #6465585

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#28497 #6465585