Subgroups — #6465706

Order 512.

3686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3058	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28488	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28485	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23387	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#535	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	—	2	8	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
19	#3058	—	2	32	no	—
20	C₂×#469	C₂²	1	16	yes	complemented
21	C₂×#466	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#2931	—	2	8	no	—
23	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2867	—	2	2	no	—
31	#2858	—	2	2	no	—
32	#2657	—	2	4	no	—
33	#2541	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2433	—	2	8	no	—
35	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	#1999	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1982	C₂²	1	16	yes	complemented
38	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
39	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1735	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
47	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×#131	—	2	8	no	—
52	C₂×#131	—	2	16	no	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#535	—	2	32	no	—
59	#535	—	4	16	no	—
60	#532	—	2	4	no	—
61	#532	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	—	2	8	no	—
64	C₂×#127	—	2	16	no	—
65	C₂×#127	—	2	8	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	C₂×#127	—	2	8	no	—
69	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×#124	—	2	8	no	—
72	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#121	C₂³	1	32	yes	—
75	C₂×#120	—	2	16	no	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#493	—	2	16	no	—
80	#493	—	2	16	no	—
81	#469	—	2	64	no	—
82	#466	—	2	64	no	—
83	#436	—	2	16	no	—
84	C₈×D₄	—	2	16	no	—
85	#427	D₄	1	16	yes	complemented
86	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
88	#423	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	#418	—	2	32	no	—
91	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
92	#408	—	2	8	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#392	—	2	32	no	—
98	#390	—	2	16	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	#376	—	2	2	no	—
102	C₄³	—	2	2	no	—
103	#340	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂⁵	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×D₈	—	2	16	no	—
128	C₂×D₈	—	2	16	no	—
129	C₂×D₈	—	2	16	no	—
130	C₂×D₈	—	2	8	no	—
131	C₂×D₈	—	2	8	no	—
132	C₂×D₈	—	4	16	no	—
133	C₂×D₈	—	4	32	no	—
134	C₂×D₈	—	4	32	no	—
135	#131	—	4	32	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	#127	—	2	4	no	—
152	#127	—	2	16	no	—
153	#127	—	2	16	no	—
154	#127	—	4	32	no	—
155	#127	—	4	8	no	—
156	#127	—	4	8	no	—
157	#127	—	8	32	no	—
158	#124	—	2	8	no	—
159	#124	—	4	32	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#121	—	2	64	no	—
162	#121	—	4	32	no	—
163	#120	—	4	64	no	—
164	C₄×D₄	—	2	8	no	—
165	C₄×D₄	—	2	8	no	—
166	#117	—	2	8	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
180	#107	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
181	#106	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
182	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
183	#102	—	2	64	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	—	4	8	no	—
190	C₂⁴	—	4	16	no	—
191	C₂⁴	—	8	16	no	—
192	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	#41	—	4	8	no	—
195	#41	—	4	8	no	—
196	#41	—	4	16	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	16	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	4	64	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	32	no	—
217	C₂×D₄	—	4	32	no	—
218	C₂×D₄	—	8	16	no	—
219	C₂×D₄	—	8	64	no	—
220	C₂×D₄	—	8	64	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
237	D₈	—	4	32	no	—
238	D₈	—	4	16	no	—
239	D₈	—	4	16	no	—
240	M₁₆	—	4	8	no	—
241	M₁₆	—	4	16	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	16	no	—
247	C₂×C₈	#127	1	16	yes	complemented
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
259	C₄²	—	2	16	no	—
260	C₄²	—	4	16	no	—
261	C₄²	#121	1	4	yes	—
262	C₄²	#121	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	32	no	—
272	C₂³	—	8	32	no	—
273	C₂³	—	8	16	no	—
274	C₂³	—	16	32	no	—
275	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
276	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	16	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	16	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	16	no	—
285	D₄	—	8	32	no	—
286	D₄	—	8	16	no	—
287	D₄	—	8	32	no	—
288	D₄	—	16	64	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	#576	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	C₈	—	2	4	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
313	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	16	no	—
319	C₂²	—	8	16	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	8	32	no	—
322	C₂²	—	16	32	no	—
323	C₂²	#2541	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#576	1	4	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	16	no	—
330	C₄	#2541	1	4	yes	—
331	C₄	#3058	1	8	yes	complemented
332	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
334	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	—	8	4	no	—
337	C₂	—	16	8	no	—
338	C₂	C₂×#2541	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂×#3058	1	2	yes	—
340	C₂	#61089	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#493	C₂	semidirect
2. C₂×#3058	C₂	semidirect
3. C₂×#2931	C₂	semidirect
4. #35274	C₂	semidirect
5. #28488	C₂	semidirect
6. #28485	C₂	semidirect
7. #23387	C₂	semidirect
8. #21260	C₂	semidirect
9. C₄×#427	C₂	semidirect
20. C₂×#469	C₂²	semidirect
21. C₂×#466	C₂²	semidirect
23. C₂×#436	C₂²	semidirect
24. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
33. #2541	C₂²	semidirect
36. #1999	C₂²	semidirect
37. #1982	C₂²	semidirect
38. C₄×#107	C₂²	semidirect
39. C₄×#106	C₂²	semidirect
85. #427	D₄	semidirect
94. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect
180. #107	C₂×D₄	semidirect
181. #106	C₂×D₄	semidirect
247. C₂×C₈	#127	semidirect
331. C₄	#3058	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#3058	2
C₂×#2931	2
#35274	2
#28488	2
#28485	2
#23387	2
#21260	2
C₄×#427	2