Subgroups — #6465708

Order 512.

3262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#3058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#35329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28487	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#28484	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#23388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#495	—	2	8	no	—
20	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
22	#3059	—	2	16	no	—
23	#3058	—	2	16	no	—
24	C₂×#470	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#469	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#467	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#466	C₂²	1	8	yes	—
28	#2931	—	2	8	no	—
29	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2858	—	2	4	no	—
38	#2658	—	2	2	no	—
39	#2657	—	2	2	no	—
40	#2540	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#2539	—	2	8	no	—
42	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
43	#2000	C₂²	1	32	yes	complemented
44	#1983	C₂²	1	16	yes	complemented
45	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
46	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1735	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
57	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#131	—	2	8	no	—
63	C₂×#131	—	2	8	no	—
64	C₂×#131	—	2	8	no	—
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#536	—	2	16	no	—
71	#536	—	4	8	no	—
72	#535	—	2	16	no	—
73	#535	—	4	8	no	—
74	#532	—	2	4	no	—
75	#532	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#127	—	2	4	no	—
79	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#124	—	2	4	no	—
81	C₂×#124	—	2	4	no	—
82	C₂×#124	—	2	2	no	—
83	C₂×#124	—	2	2	no	—
84	C₂×#124	—	2	8	no	—
85	C₂×#124	—	2	8	no	—
86	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#123	—	2	8	no	—
89	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#121	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#120	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#495	—	2	16	no	—
98	#495	—	2	16	no	—
99	#470	—	2	32	no	—
100	#469	—	2	32	no	—
101	#467	—	2	32	no	—
102	#466	—	2	32	no	—
103	#436	—	2	16	no	—
104	C₈×D₄	—	2	16	no	—
105	#427	D₄	1	16	yes	complemented
106	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
108	#423	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#419	—	2	16	no	—
111	#418	—	2	16	no	—
112	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
113	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
114	#408	—	2	8	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#399	—	2	16	no	—
120	#392	—	2	16	no	—
121	#390	—	2	32	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	#376	—	2	2	no	—
125	C₄³	—	2	2	no	—
126	#340	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂⁵	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂×#41	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	2	4	no	—
132	C₂×#41	—	2	4	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
163	C₂×D₈	—	2	8	no	—
164	C₂×D₈	—	2	8	no	—
165	C₂×D₈	—	2	4	no	—
166	C₂×D₈	—	2	4	no	—
167	C₂×D₈	—	4	16	no	—
168	#131	—	4	32	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
188	#127	—	2	4	no	—
189	#127	—	4	16	no	—
190	#124	—	2	8	no	—
191	#124	—	2	16	no	—
192	#124	—	2	16	no	—
193	#124	—	4	16	no	—
194	#124	—	4	16	no	—
195	#124	—	4	8	no	—
196	#124	—	4	8	no	—
197	#123	—	4	32	no	—
198	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
199	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
200	#121	—	2	16	no	—
201	#121	—	2	32	no	—
202	#121	—	4	16	no	—
203	#120	—	4	32	no	—
204	C₄×D₄	—	2	8	no	—
205	C₄×D₄	—	2	8	no	—
206	#117	—	2	8	no	—
207	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
225	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
226	#106	C₂×D₄	1	16	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	#103	—	2	32	no	—
229	#102	—	2	32	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	C₂⁴	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	—	4	4	no	—
236	C₂⁴	—	4	8	no	—
237	C₂⁴	—	8	8	no	—
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	#41	—	4	8	no	—
241	#41	—	4	8	no	—
242	#41	—	4	8	no	—
243	#41	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	8	no	—
259	C₂×D₄	—	2	8	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	32	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	—	4	8	no	—
273	C₂×D₄	—	4	16	no	—
274	C₂×D₄	—	8	32	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	4	8	no	—
297	Q₁₆	—	4	8	no	—
298	SD₁₆	—	4	32	no	—
299	D₈	—	4	8	no	—
300	D₈	—	4	8	no	—
301	M₁₆	—	4	8	no	—
302	M₁₆	—	4	16	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	4	16	no	—
309	C₂×C₈	#127	1	16	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
315	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
318	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
325	C₄²	—	2	16	no	—
326	C₄²	—	8	8	no	—
327	C₄²	#121	1	4	yes	—
328	C₄²	#121	1	4	yes	—
329	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
330	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	2	16	no	—
333	C₂³	—	2	4	no	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	4	16	no	—
337	C₂³	—	4	4	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	—	8	16	no	—
340	C₂³	—	8	8	no	—
341	C₂³	—	16	16	no	—
342	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
344	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	4	8	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	4	8	no	—
349	Q₈	—	8	8	no	—
350	D₄	—	4	16	no	—
351	D₄	—	4	16	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	8	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	D₄	—	16	32	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	16	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	16	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
380	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
387	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	8	no	—
390	C₂²	—	4	8	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	8	no	—
393	C₂²	—	4	8	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	16	no	—
397	C₂²	—	16	16	no	—
398	C₂²	#2541	1	4	yes	—
399	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
401	C₂²	#3584	1	4	yes	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	4	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	4	16	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	#2541	1	4	yes	—
408	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
409	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
410	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
411	C₂	—	2	4	no	—
412	C₂	—	8	4	no	—
413	C₂	—	16	4	no	—
414	C₂	C₂×#2541	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#60450	1	2	yes	—
416	C₂	#61090	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#495	C₂	semidirect
2. C₂×#3059	C₂	semidirect
3. C₂×#3058	C₂	semidirect
4. C₂×#2931	C₂	semidirect
5. #35329	C₂	semidirect
6. #28487	C₂	semidirect
7. #28484	C₂	semidirect
8. #23388	C₂	semidirect
9. #21261	C₂	semidirect
10. C₄×#427	C₂	semidirect
24. C₂×#470	C₂²	semidirect
26. C₂×#467	C₂²	semidirect
29. C₂×#436	C₂²	semidirect
30. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
40. #2540	C₂²	semidirect
43. #2000	C₂²	semidirect
44. #1983	C₂²	semidirect
45. C₄×#107	C₂²	semidirect
46. C₄×#106	C₂²	semidirect
105. #427	D₄	semidirect
116. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂×#3059	2
C₂×#3058	2
C₂×#2931	2
#35329	2
#28487	2
#28484	2
#23388	2
#21261	2
C₄×#427	2