Subgroups — #6465709

Order 512.

3262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28491	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28483	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#23387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#21261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#495	—	2	8	no	—
20	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
22	#3057	—	2	32	no	—
23	C₂×#468	C₂²	1	16	yes	complemented
24	C₂×#465	C₂²	1	16	yes	complemented
25	#2931	—	2	8	no	—
26	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2858	—	2	4	no	—
35	#2658	—	2	2	no	—
36	#2657	—	2	2	no	—
37	#2540	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#2539	—	2	8	no	—
39	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
40	#2001	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1999	C₂²	1	16	yes	—
42	#1983	C₂²	1	16	yes	complemented
43	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1735	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
58	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#131	—	2	8	no	—
60	C₂×#131	—	2	16	no	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#536	—	2	16	no	—
67	#536	—	4	8	no	—
68	#535	—	2	16	no	—
69	#535	—	4	8	no	—
70	#532	—	2	4	no	—
71	#532	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#127	—	2	4	no	—
75	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#124	—	2	4	no	—
77	C₂×#124	—	2	4	no	—
78	C₂×#124	—	2	2	no	—
79	C₂×#124	—	2	2	no	—
80	C₂×#124	—	2	8	no	—
81	C₂×#124	—	2	8	no	—
82	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#123	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×#121	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#120	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#495	—	2	16	no	—
94	#495	—	2	16	no	—
95	#468	—	2	64	no	—
96	#465	—	2	64	no	—
97	#436	—	2	16	no	—
98	C₈×D₄	—	2	16	no	—
99	#427	D₄	1	16	yes	complemented
100	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
102	#423	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	#419	—	2	16	no	—
105	#418	—	2	16	no	—
106	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
108	#408	—	2	8	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	#399	—	2	16	no	—
114	#392	—	2	16	no	—
115	#390	—	2	32	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	#376	—	2	2	no	—
119	C₄³	—	2	2	no	—
120	#340	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂⁵	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	8	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
155	C₂×D₈	—	2	8	no	—
156	C₂×D₈	—	4	8	no	—
157	C₂×D₈	—	4	16	no	—
158	#131	—	4	32	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
175	#127	—	2	4	no	—
176	#127	—	4	16	no	—
177	#124	—	2	8	no	—
178	#124	—	2	16	no	—
179	#124	—	2	16	no	—
180	#124	—	4	16	no	—
181	#124	—	4	16	no	—
182	#124	—	4	8	no	—
183	#124	—	4	8	no	—
184	#123	—	4	32	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
187	#121	—	2	16	no	—
188	#121	—	2	32	no	—
189	#121	—	4	16	no	—
190	#120	—	4	32	no	—
191	C₄×D₄	—	2	8	no	—
192	C₄×D₄	—	2	8	no	—
193	#117	—	2	8	no	—
194	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
212	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
213	#106	C₂×D₄	1	16	yes	—
214	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
215	#103	—	2	32	no	—
216	#102	—	2	32	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
220	#95	—	2	8	no	—
221	C₂⁴	—	2	4	no	—
222	C₂⁴	—	4	4	no	—
223	C₂⁴	—	4	8	no	—
224	C₂⁴	—	8	8	no	—
225	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	4	8	no	—
228	#41	—	4	8	no	—
229	#41	—	4	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	32	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	16	no	—
257	C₂×D₄	—	8	32	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	Q₁₆	—	4	16	no	—
278	SD₁₆	—	4	16	no	—
279	SD₁₆	—	4	16	no	—
280	D₈	—	4	16	no	—
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	M₁₆	—	4	16	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	8	no	—
287	C₂×C₈	—	4	16	no	—
288	C₂×C₈	#127	1	16	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₄²	—	2	16	no	—
305	C₄²	—	8	8	no	—
306	C₄²	#121	1	4	yes	—
307	C₄²	#121	1	4	yes	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
309	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	2	16	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	8	no	—
314	C₂³	—	4	16	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	8	16	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	16	16	no	—
320	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
321	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	4	8	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	Q₈	—	4	8	no	—
327	Q₈	—	8	8	no	—
328	D₄	—	4	16	no	—
329	D₄	—	4	16	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	D₄	—	16	32	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	16	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
360	C₈	—	2	4	no	—
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
363	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	4	8	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	4	16	no	—
369	C₂²	—	8	8	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	16	no	—
372	C₂²	—	16	16	no	—
373	C₂²	#2541	1	4	yes	—
374	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
376	C₂²	#3584	1	4	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	16	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	#2541	1	4	yes	—
383	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
384	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	—	8	4	no	—
388	C₂	—	16	4	no	—
389	C₂	C₂×#2541	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#60450	1	2	yes	—
391	C₂	#61088	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#495	C₂	semidirect
2. C₂×#3057	C₂	semidirect
3. C₂×#2931	C₂	semidirect
4. #35329	C₂	semidirect
5. #28491	C₂	semidirect
6. #28483	C₂	semidirect
7. #23389	C₂	semidirect
8. #23387	C₂	semidirect
9. #21261	C₂	semidirect
10. C₄×#427	C₂	semidirect
23. C₂×#468	C₂²	semidirect
24. C₂×#465	C₂²	semidirect
26. C₂×#436	C₂²	semidirect
27. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
37. #2540	C₂²	semidirect
40. #2001	C₂²	semidirect
42. #1983	C₂²	semidirect
43. C₄×#107	C₂²	semidirect
44. C₄×#106	C₂²	semidirect
99. #427	D₄	semidirect
110. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂×#3057	2
C₂×#2931	2
#35329	2
#28491	2
#28483	2
#23389	2
#23387	2
#21261	2
C₄×#427	2