Subgroups — #6465747

Order 512.

1892 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3162	C₂	1	2	yes	maximal
2	#34938	C₂	1	2	yes	maximal
3	#28818	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28817	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23551	C₂	1	4	yes	maximal
8	#21169	C₂	1	2	yes	maximal
9	#21154	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
14	#3162	—	2	16	no	—
15	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2552	C₂²	1	4	yes	—
26	#2551	C₂²	1	4	yes	—
27	#2550	C₂²	1	8	yes	—
28	#2549	—	2	4	no	—
29	#2440	—	2	4	no	—
30	#2399	—	2	4	no	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
32	#2296	C₂²	1	4	yes	—
33	#2285	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2059	C₂²	1	8	yes	—
37	#2059	C₂²	1	8	yes	—
38	#2058	C₂²	1	8	yes	—
39	#2057	C₂²	1	8	yes	—
40	#1949	C₂²	1	8	yes	—
41	#1948	C₂²	1	4	yes	—
42	#1947	C₂²	1	4	yes	—
43	#1944	C₂²	1	8	yes	—
44	#1943	C₂²	1	8	yes	—
45	#1846	C₂²	1	2	yes	—
46	#1846	C₂²	1	2	yes	—
47	#1845	C₂²	1	2	yes	—
48	#1844	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
53	#1770	C₂²	1	2	yes	—
54	#1770	C₂²	1	2	yes	—
55	#1770	C₂²	1	2	yes	—
56	#1770	C₂²	1	2	yes	—
57	#1735	C₂²	1	4	yes	—
58	#1735	C₂²	1	2	yes	—
59	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#533	—	2	16	no	—
64	#533	—	4	8	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#501	—	2	32	no	—
77	#501	—	2	32	no	—
78	#427	—	2	8	no	—
79	#427	—	2	16	no	—
80	#427	—	4	4	no	—
81	#427	D₄	1	8	yes	—
82	#427	Q₈	1	8	yes	complemented
83	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#97	—	2	8	no	—
97	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#398	—	2	8	no	—
105	#398	—	2	8	no	—
106	#395	—	2	8	no	—
107	#395	—	2	8	no	—
108	#391	—	2	8	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#389	—	2	8	no	—
112	#389	C₂³	1	8	yes	—
113	#389	C₂³	1	8	yes	—
114	#385	—	2	8	no	—
115	#384	—	2	4	no	—
116	#384	C₂³	1	4	yes	—
117	#382	C₂³	1	4	yes	—
118	#380	—	2	2	no	—
119	#380	—	2	2	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
124	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
125	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
131	#376	—	2	2	no	—
132	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
133	C₄³	—	2	2	no	—
134	#340	C₂³	1	4	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#340	C₂³	1	4	yes	—
137	#340	C₂³	1	8	yes	—
138	#336	C₂³	1	4	yes	—
139	#336	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
162	#125	—	2	16	no	—
163	#125	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	8	no	—
169	#117	—	2	8	no	—
170	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	#107	—	2	8	no	—
204	#107	—	2	16	no	—
205	#107	—	4	4	no	—
206	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	#107	C₂×Q₈	1	8	yes	—
208	#106	—	2	8	no	—
209	#106	—	2	16	no	—
210	#106	—	4	4	no	—
211	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
212	#106	C₂×Q₈	1	8	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
215	#97	—	2	8	no	—
216	#97	—	2	8	no	—
217	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
219	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
220	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
221	#95	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	#95	—	2	4	no	—
225	#95	—	2	8	no	—
226	#95	—	2	8	no	—
227	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	16	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
265	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
287	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
288	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄²	—	2	8	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	8	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	4	8	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	8	4	no	—
300	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
301	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
309	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
310	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
312	Q₈	—	8	32	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	Q₈²	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	8	no	—
352	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
353	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	#2551	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
363	C₂²	#3584	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	—	4	8	no	—
369	C₄	—	4	8	no	—
370	C₄	—	8	8	no	—
371	C₄	#2551	1	4	yes	—
372	C₄	#3162	1	4	yes	complemented
373	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	C₂×#2551	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#3162	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#60660	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#61038	1	2	yes	—
382	C₂	#61365	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #28818	C₂	semidirect
4. #28817	C₂	semidirect
5. #28816	C₂	semidirect
6. #28815	C₂	semidirect
82. #427	Q₈	semidirect
93. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
99. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
264. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect
372. C₄	#3162	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3162	2
#34938	2
#28818	2
#28817	2
#28816	2
#28815	2
#23551	2
#21169	2
#21154	2
#20797	2
C₄×#427	2
C₂×#1770	2