Subgroups — #6465756

Order 512.

1894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3164	C₂	1	2	yes	maximal
2	#35275	C₂	1	2	yes	maximal
3	#28816	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28814	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28813	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23555	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21171	C₂	1	2	yes	maximal
8	#21156	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#544	C₂²	1	4	yes	—
13	#3164	—	2	16	no	—
14	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2868	—	2	2	no	—
26	#2859	—	2	2	no	—
27	#2660	—	2	4	no	—
28	#2552	C₂²	1	8	yes	—
29	#2551	C₂²	1	8	yes	—
30	#2440	—	2	8	no	—
31	#2317	C₂²	1	4	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	#2059	C₂²	1	16	yes	—
36	#2057	C₂²	1	16	yes	—
37	#1948	C₂²	1	8	yes	—
38	#1947	C₂²	1	8	yes	—
39	#1944	C₂²	1	8	yes	—
40	#1942	C₂²	1	8	yes	—
41	#1845	C₂²	1	4	yes	—
42	#1845	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
45	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
46	#1770	C₂²	1	4	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	#1736	C₂²	1	4	yes	—
49	#1735	C₂²	1	2	yes	—
50	#1729	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#544	—	2	16	no	—
55	#544	—	4	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#125	—	2	4	no	—
60	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#501	—	2	32	no	—
69	#500	—	2	16	no	—
70	#499	—	2	16	no	—
71	#428	—	2	16	no	—
72	#427	D₄	1	8	yes	—
73	#427	Q₈	1	8	yes	complemented
74	C₂×#107	—	2	8	no	—
75	C₂×#107	—	4	4	no	—
76	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
86	#423	Q₈	1	8	yes	complemented
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	#405	—	2	8	no	—
89	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#398	—	2	16	no	—
95	#395	—	2	16	no	—
96	#389	—	2	8	no	—
97	#389	—	2	8	no	—
98	#389	C₂³	1	16	yes	—
99	#385	—	2	8	no	—
100	#384	—	2	4	no	—
101	#384	—	2	8	no	—
102	#384	—	2	2	no	—
103	#384	—	2	2	no	—
104	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
105	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#384	C₂³	1	8	yes	—
107	#382	—	2	4	no	—
108	#382	D₄	1	2	yes	—
109	#380	D₄	1	4	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
114	#376	—	2	2	no	—
115	C₄³	—	2	2	no	—
116	#340	C₂³	1	4	yes	—
117	#340	C₂³	1	16	yes	—
118	#340	C₂³	1	4	yes	—
119	#336	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	8	16	no	—
141	#125	—	2	16	no	—
142	#125	—	4	8	no	—
143	#125	—	4	16	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
182	#107	—	2	8	no	—
183	#107	—	2	8	no	—
184	#107	—	2	16	no	—
185	#107	—	4	8	no	—
186	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	#107	C₂×Q₈	1	8	yes	—
189	#106	—	2	16	no	—
190	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	#106	C₂×Q₈	1	8	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
193	#97	—	2	8	no	—
194	C₄×C₈	—	2	8	no	—
195	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	16	no	—
200	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
212	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
225	M₁₆	—	2	16	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
232	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
269	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
275	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
276	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	16	16	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	16	8	no	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	Q₈²	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	2	8	no	—
315	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
316	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	#2551	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	8	8	no	—
334	C₄	#2551	1	4	yes	—
335	C₄	#3164	1	8	yes	complemented
336	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₄	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	C₂×#2551	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#3164	1	2	yes	—
343	C₂	#61089	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#61091	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#61373	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2285 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #28816	C₂	semidirect
4. #28814	C₂	semidirect
5. #28813	C₂	semidirect
73. #427	Q₈	semidirect
86. #423	Q₈	semidirect
90. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
231. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect
335. C₄	#3164	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3164	2
#35275	2
#28816	2
#28814	2
#28813	2
#23555	2
#21171	2
#21156	2
C₂×#1845	2
C₄×#427	2
#20437	2