Subgroups — #6465757

Order 512.

1810 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 314 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3164	C₂	1	2	yes	maximal
2	#35330	C₂	1	2	yes	maximal
3	#28815	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28812	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23556	C₂	1	4	yes	maximal
6	#21172	C₂	1	2	yes	maximal
7	#21156	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂×#544	C₂²	1	4	yes	—
12	#3164	—	2	16	no	—
13	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2862	—	2	2	no	—
25	#2859	—	2	2	no	—
26	#2660	—	2	4	no	—
27	#2550	C₂²	1	16	yes	—
28	#2549	—	2	8	no	—
29	#2317	C₂²	1	4	yes	—
30	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	#2059	C₂²	1	16	yes	—
34	#2058	C₂²	1	16	yes	—
35	#1949	C₂²	1	16	yes	—
36	#1944	C₂²	1	8	yes	—
37	#1942	C₂²	1	8	yes	—
38	#1846	C₂²	1	4	yes	—
39	#1846	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
42	#1770	C₂²	1	4	yes	—
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
44	#1736	C₂²	1	4	yes	—
45	#1735	C₂²	1	2	yes	—
46	#1729	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#544	—	2	16	no	—
51	#544	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×#125	—	2	4	no	—
55	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#501	—	2	32	no	—
63	#500	—	2	16	no	—
64	#499	—	2	16	no	—
65	#428	—	2	16	no	—
66	#427	D₄	1	8	yes	—
67	#427	Q₈	1	8	yes	complemented
68	C₂×#107	—	2	8	no	—
69	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#106	—	4	4	no	—
75	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
79	#423	Q₈	1	8	yes	complemented
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	#405	—	2	8	no	—
82	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	#398	—	2	16	no	—
88	#395	—	2	16	no	—
89	#391	—	2	16	no	—
90	#389	—	2	16	no	—
91	#389	C₂³	1	16	yes	—
92	#385	—	2	8	no	—
93	#384	—	2	4	no	—
94	#384	D₄	1	2	yes	—
95	#382	—	2	4	no	—
96	#382	—	2	2	no	—
97	#382	—	2	2	no	—
98	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#382	C₂³	1	8	yes	—
101	#380	D₄	1	4	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
105	#376	—	2	2	no	—
106	C₂×#95	—	2	4	no	—
107	C₄³	—	2	2	no	—
108	#340	C₂³	1	8	yes	—
109	#340	C₂³	1	16	yes	—
110	#336	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
131	#125	—	2	16	no	—
132	#125	—	4	8	no	—
133	#125	—	4	16	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
166	#107	—	2	8	no	—
167	#107	—	2	8	no	—
168	#107	—	2	16	no	—
169	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	#107	C₂×Q₈	1	8	yes	—
171	#106	—	2	16	no	—
172	#106	—	4	8	no	—
173	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	#106	C₂×Q₈	1	8	yes	—
175	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
176	#97	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	2	8	no	—
178	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
180	#95	—	2	8	no	—
181	#95	—	2	8	no	—
182	#95	—	2	8	no	—
183	#95	—	2	16	no	—
184	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
195	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
208	M₁₆	—	2	16	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
215	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
219	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
235	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄²	—	2	8	no	—
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	8	8	no	—
245	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
251	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
252	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	16	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	16	8	no	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	Q₈²	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	4	no	—
285	C₈	—	2	8	no	—
286	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
287	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	#2551	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#3584	1	4	yes	—
296	C₄	—	2	4	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	—	4	4	no	—
300	C₄	—	4	8	no	—
301	C₄	—	4	8	no	—
302	C₄	—	8	8	no	—
303	C₄	#2551	1	4	yes	—
304	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
306	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₄	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
308	C₂	—	2	4	no	—
309	C₂	C₂×#2551	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#60660	1	2	yes	—
311	C₂	#61090	1	2	yes	—
312	C₂	#61376	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2285 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #28815	C₂	semidirect
4. #28812	C₂	semidirect
67. #427	Q₈	semidirect
79. #423	Q₈	semidirect
83. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3164	2
#35330	2
#28815	2
#28812	2
#23556	2
#21172	2
#21156	2
C₂×#1846	2
C₄×#427	2
#20437	2