Subgroups — #6466122

Order 512.

2406 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3080	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#28517	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#28515	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28514	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23733	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21200	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	#3080	—	2	32	no	—
15	C₂×#479	C₂²	1	16	yes	—
16	C₂×#478	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#2859	—	2	2	no	—
22	#2859	—	2	2	no	—
23	#2859	C₂²	1	4	yes	—
24	#2859	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄×#121	—	2	4	no	—
29	#2297	C₂²	1	2	yes	—
30	#2293	—	2	2	no	—
31	C₂×#389	—	2	4	no	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2097	C₂²	1	16	yes	—
38	#2092	C₂²	1	16	yes	—
39	#1959	C₂²	1	8	yes	—
40	#1957	C₂²	1	4	yes	—
41	#1956	C₂²	1	4	yes	—
42	#1847	C₂²	1	8	yes	—
43	#1845	C₂²	1	4	yes	—
44	#1844	C₂²	1	4	yes	—
45	#1767	C₂²	1	4	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
47	#1728	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	Q₈	1	8	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	—	2	2	no	—
56	C₂×#125	—	2	16	no	—
57	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₄×#41	—	2	16	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#479	—	2	64	no	—
77	#478	—	2	64	no	—
78	#428	—	2	32	no	—
79	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
81	#423	D₄	1	16	yes	complemented
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
83	#417	—	2	32	no	—
84	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
86	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	#391	C₂³	1	4	yes	—
90	#390	—	2	4	no	—
91	#390	C₂³	1	4	yes	—
92	#389	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	8	no	—
94	#389	—	2	8	no	—
95	#389	—	2	8	no	—
96	#389	—	2	8	no	—
97	#388	—	2	8	no	—
98	#386	—	2	4	no	—
99	#384	—	2	4	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#384	C₂³	1	4	yes	—
102	#384	C₂³	1	4	yes	—
103	#382	—	2	4	no	—
104	#382	C₂³	1	8	yes	—
105	#382	C₂³	1	2	yes	—
106	#380	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×#95	—	2	4	no	—
112	C₄³	D₄	1	2	yes	—
113	C₄³	D₄	1	2	yes	—
114	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	2	8	no	—
120	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	#125	—	2	32	no	—
141	#125	—	4	8	no	—
142	#125	—	4	8	no	—
143	#124	—	2	4	no	—
144	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
145	#121	—	2	16	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
147	C₄×D₄	—	2	16	no	—
148	C₄×D₄	—	2	16	no	—
149	C₄×D₄	—	4	16	no	—
150	C₄×D₄	—	4	16	no	—
151	#117	—	2	8	no	—
152	#117	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#107	—	2	32	no	—
191	#106	—	2	32	no	—
192	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
193	#103	—	2	32	no	—
194	#102	—	2	32	no	—
195	#97	—	2	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	8	no	—
197	#95	—	2	16	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	32	no	—
203	#41	—	4	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	32	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	8	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	8	no	—
270	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
271	C₄²	#127	1	4	yes	—
272	C₄²	#127	1	4	yes	—
273	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
274	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
285	C₂³	#536	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	8	no	—
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	D₄	—	2	8	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	D₄	—	4	16	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	8	16	no	—
311	C₂×C₄	—	8	16	no	—
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#547	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	16	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	#2542	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	8	no	—
346	C₄	#2542	1	4	yes	—
347	C₄	#3080	1	8	yes	complemented
348	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
349	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	8	4	no	—
352	C₂	C₂×#2542	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#3080	1	2	yes	—
354	C₂	#60639	1	2	yes	—
355	C₂	#60862	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3080	C₂	semidirect
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
4. #28517	C₂	semidirect
5. #28515	C₂	semidirect
6. #28514	C₂	semidirect
7. #23733	C₂	semidirect
9. #20800	C₂	semidirect
10. C₄×#423	C₂	semidirect
81. #423	D₄	semidirect
347. C₄	#3080	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3080	2
C₂×#2859	2
C₄×#532	2
#28517	2
#28515	2
#28514	2
#23733	2
#21200	2
#20800	2
C₄×#423	2