Subgroups — #6466227

Order 512.

1936 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34953	C₂	1	2	yes	maximal
4	#28679	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28678	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28677	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#23666	C₂	1	4	yes	maximal
10	#21311	C₂	1	2	yes	maximal
11	#21151	C₂	1	4	yes	maximal
12	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3160	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×Q₈	—	2	8	no	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2584	C₂²	1	8	yes	—
34	#2583	—	2	4	no	—
35	#2567	C₂²	1	4	yes	—
36	#2546	C₂²	1	4	yes	—
37	#2502	—	2	2	no	—
38	#2434	—	2	2	no	—
39	#2399	—	2	4	no	—
40	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	#2296	C₂²	1	8	yes	—
42	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
43	#2088	C₂²	1	16	yes	—
44	#2087	C₂²	1	8	yes	—
45	#2086	C₂²	1	8	yes	—
46	#1989	C₂²	1	8	yes	—
47	#1988	C₂²	1	4	yes	—
48	#1987	C₂²	1	4	yes	—
49	#1942	C₂²	1	8	yes	—
50	#1942	C₂²	1	8	yes	—
51	#1941	C₂²	1	16	yes	—
52	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
56	#1735	C₂²	1	8	yes	—
57	#1735	C₂²	1	2	yes	—
58	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#533	—	2	8	no	—
63	#533	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#500	—	2	4	no	—
85	#500	—	2	4	no	—
86	#499	—	2	8	no	—
87	#499	—	2	8	no	—
88	#498	—	2	8	no	—
89	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
93	#427	—	2	8	no	—
94	#427	—	2	8	no	—
95	#427	Q₈	1	16	yes	complemented
96	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#398	—	2	8	no	—
119	#398	—	2	8	no	—
120	#395	—	2	8	no	—
121	#395	—	2	8	no	—
122	#391	—	2	4	no	—
123	#391	—	2	4	no	—
124	#389	—	2	16	no	—
125	#389	C₂³	1	16	yes	—
126	#389	C₂³	1	16	yes	—
127	#385	—	2	8	no	—
128	#385	—	2	8	no	—
129	#384	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	#376	—	2	2	no	—
136	C₄³	—	2	2	no	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	#340	C₂³	1	16	yes	—
139	#340	C₂³	1	16	yes	—
140	#340	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
168	#125	—	2	8	no	—
169	#125	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	#117	—	2	8	no	—
182	#117	—	2	8	no	—
183	#117	C₂×Q₈	1	16	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	#107	—	2	4	no	—
216	#107	—	2	4	no	—
217	#107	—	2	4	no	—
218	#107	—	2	4	no	—
219	#107	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
220	#106	—	2	8	no	—
221	#106	—	2	8	no	—
222	#106	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
223	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	—	2	8	no	—
228	C₄×C₈	—	2	8	no	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	16	no	—
236	#95	—	2	16	no	—
237	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
247	C₂×Q₈	#135	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	2	8	no	—
303	C₄²	—	2	16	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	4	8	no	—
307	C₄²	—	4	8	no	—
308	C₄²	—	8	4	no	—
309	C₄²	#121	1	4	yes	—
310	C₄²	#121	1	4	yes	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
318	C₂³	D₄×Q₈	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	16	no	—
321	Q₈	—	2	16	no	—
322	Q₈	—	8	8	no	—
323	Q₈	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#557	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	4	4	no	—
360	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
361	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	#2546	1	4	yes	—
366	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
369	C₂²	#3584	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	8	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	16	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	#2546	1	4	yes	—
379	C₄	#3050	1	4	yes	—
380	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
381	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×#557	1	2	yes	—
383	C₂	—	2	4	no	—
384	C₂	C₂×#2546	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#3050	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#60450	1	1	yes	characteristic
387	C₂	Q₈×#135	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #28679	C₂	semidirect
5. #28678	C₂	semidirect
6. #28677	C₂	semidirect
7. #28676	C₂	semidirect
8. #28675	C₂	semidirect
95. #427	Q₈	semidirect
219. #107	C₂×Q₈	semidirect
222. #106	C₂×Q₈	semidirect
277. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂²×C₈×Q₈	2
#34953	2
#28679	2
#28678	2
#28677	2
#28676	2
#28675	2
#23666	2
#21311	2
#21151	2
C₄×#427	2