Subgroups — #6466553

Order 512.

2230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#490	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#28728	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28724	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28722	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23632	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#21321	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20650	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
17	#3138	—	2	8	no	—
18	C₂×#490	—	2	8	no	—
19	C₂×#490	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#490	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2660	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2584	—	2	4	no	—
33	#2583	—	2	4	no	—
34	#2366	—	2	4	no	—
35	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
36	#2328	C₂²	1	4	yes	—
37	#2317	C₂²	1	2	yes	—
38	#2317	C₂²	1	2	yes	—
39	#2309	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
41	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2073	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#2071	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1993	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1992	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1992	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1992	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1991	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1804	C₂²	1	16	yes	complemented
51	#1802	C₂²	1	16	yes	complemented
52	#1768	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	#533	—	2	4	no	—
62	#533	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	4	no	—
66	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#125	—	2	4	no	—
71	C₂×#125	—	2	4	no	—
72	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	#518	—	2	16	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#490	—	2	16	no	—
91	#490	—	2	16	no	—
92	#490	—	2	8	no	—
93	#490	—	2	8	no	—
94	#486	—	2	16	no	—
95	#424	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	#418	—	2	16	no	—
98	C₂×#102	—	2	16	no	—
99	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×#97	—	2	4	no	—
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	#398	—	2	8	no	—
109	#395	—	2	8	no	—
110	#390	—	2	4	no	—
111	#390	—	2	8	no	—
112	#390	C₂³	1	8	yes	—
113	#389	—	2	4	no	—
114	#389	—	2	4	no	—
115	#389	—	2	8	no	—
116	#389	—	2	8	no	—
117	#386	—	2	16	no	—
118	#385	—	2	4	no	—
119	#385	—	2	4	no	—
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#384	C₂³	1	4	yes	—
122	#384	C₂³	1	4	yes	—
123	#382	C₂³	1	4	yes	—
124	#382	C₂³	1	4	yes	—
125	#382	C₂³	1	2	yes	—
126	#380	—	2	2	no	—
127	#379	—	2	4	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
130	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
131	#376	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁵	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
147	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	#127	—	2	16	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	#125	—	2	4	no	—
169	#125	—	2	4	no	—
170	#125	—	2	2	no	—
171	#125	—	2	2	no	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	—	2	4	no	—
174	#125	—	2	2	no	—
175	#125	—	2	2	no	—
176	#125	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	32	no	—
180	C₄×D₄	—	4	16	no	—
181	C₄×D₄	—	8	16	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	8	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	#41	1	8	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
223	#102	—	2	32	no	—
224	#102	—	2	16	no	—
225	#102	—	2	16	no	—
226	#97	—	2	4	no	—
227	#97	—	2	4	no	—
228	#97	—	2	4	no	—
229	C₄×C₈	—	2	4	no	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	#95	—	2	8	no	—
232	#95	—	2	8	no	—
233	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
234	C₂⁴	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	—	2	8	no	—
236	C₂⁴	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	—	4	4	no	—
238	C₂⁴	—	8	8	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	16	no	—
244	C₂×D₄	—	2	16	no	—
245	C₂×D₄	—	2	32	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	16	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	16	no	—
253	C₂×D₄	—	8	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	32	no	—
255	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
276	M₁₆	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
307	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	8	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	4	4	no	—
312	C₄²	#121	1	8	yes	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	2	8	no	—
320	C₂³	—	4	16	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	4	16	no	—
324	C₂³	—	8	16	no	—
325	C₂³	—	16	8	no	—
326	C₂³	—	16	8	no	—
327	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
329	C₂³	#536	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	8	8	no	—
332	D₄	—	2	16	no	—
333	D₄	—	4	32	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	16	no	—
336	D₄	—	8	16	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	—	16	16	no	—
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#547	1	8	yes	—
360	C₂×C₄	#556	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	16	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	8	8	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	16	16	no	—
375	C₂²	#2547	1	4	yes	—
376	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#3585	1	4	yes	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	8	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	#2547	1	4	yes	—
389	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
390	C₄	C₂×#556	1	2	yes	—
391	C₂	—	2	4	no	—
392	C₂	—	8	8	no	—
393	C₂	C₂×#2547	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#60423	1	2	yes	—
395	C₂	#60626	1	2	yes	—
396	C₂	#60883	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #35335	C₂	semidirect
5. #28728	C₂	semidirect
6. #28724	C₂	semidirect
7. #28722	C₂	semidirect
8. #23632	C₂	semidirect
9. #21325	C₂	semidirect
10. #21321	C₂	semidirect
11. #20650	C₂	semidirect
12. #20427	C₂	semidirect
29. #2859	C₂²	semidirect
30. #2859	C₂²	semidirect
31. #2660	C₂²	semidirect
43. #2073	C₂²	semidirect
44. #2071	C₂²	semidirect
45. #1993	C₂²	semidirect
46. #1992	C₂²	semidirect
47. #1992	C₂²	semidirect
48. #1992	C₂²	semidirect
49. #1991	C₂²	semidirect
50. #1804	C₂²	semidirect
51. #1802	C₂²	semidirect
52. #1768	C₂²	semidirect
53. #1767	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
C₂²×#490	2
#35335	2
#34210	2
#28728	2
#28724	2
#28722	2
#23632	2
#21325	2
#21321	2
#20650	2
#20427	2