Subgroups — C₂×#28752 #6466827

Order 512.

2546 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#488	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28752	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#2042	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1981	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1958	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#488	—	2	16	no	—
16	C₂×#488	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#2858	—	2	4	no	—
24	#2858	C₂²	1	8	yes	—
25	C₄×#125	—	2	4	no	—
26	C₄×#125	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#390	—	2	2	no	—
28	C₂×#390	—	2	2	no	—
29	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#387	—	2	2	no	—
31	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2042	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#1982	C₂²	1	16	yes	—
37	#1981	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1958	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	8	no	—
51	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#125	—	2	2	no	—
53	C₂×#125	—	2	4	no	—
54	C₂×#125	D₄	1	8	yes	complemented
55	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#124	—	2	4	no	—
57	C₂×#124	—	2	4	no	—
58	C₂×#124	—	2	8	no	—
59	C₂×#124	—	2	8	no	—
60	C₂×#124	—	4	8	no	—
61	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#488	—	2	64	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#103	—	2	16	no	—
81	C₂×#103	—	4	8	no	—
82	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
83	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×#102	—	2	16	no	—
85	C₂×#102	—	4	8	no	—
86	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
90	#390	—	2	16	no	—
91	#390	—	2	16	no	—
92	#389	—	2	4	no	—
93	#389	C₂³	1	8	yes	—
94	#387	—	2	16	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	#382	C₂³	1	4	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#95	—	2	2	no	—
101	C₂×#95	—	2	2	no	—
102	C₂×#95	—	2	2	no	—
103	C₄³	D₄	1	4	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
105	#336	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂⁵	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	#127	—	2	16	no	—
140	#127	—	4	8	no	—
141	#125	—	2	16	no	—
142	#125	—	2	8	no	—
143	#125	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
144	#124	—	2	16	no	—
145	#124	—	2	16	no	—
146	#124	—	4	16	no	—
147	#124	—	4	16	no	—
148	#124	—	4	16	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#103	—	2	32	no	—
187	#103	—	4	16	no	—
188	#102	—	2	32	no	—
189	#102	—	4	16	no	—
190	C₄×C₈	—	2	16	no	—
191	#95	—	2	8	no	—
192	#95	—	2	8	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	8	16	no	—
224	C₂×D₄	—	8	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	4	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	16	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	4	16	no	—
278	C₄²	#121	1	8	yes	—
279	C₄²	#124	1	8	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	—	8	8	no	—
290	C₂³	—	8	16	no	—
291	C₂³	—	8	16	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
295	C₂³	#535	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
297	C₂³	#575	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	8	no	—
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	8	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	8	16	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	#488	1	16	yes	complemented
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
342	C₈	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	8	no	—
348	C₂²	—	16	16	no	—
349	C₂²	#2548	1	4	yes	—
350	C₂²	#3035	1	8	yes	—
351	C₂²	C₂×#488	1	4	yes	—
352	C₂²	#3140	1	4	yes	—
353	C₂²	#3212	1	8	yes	—
354	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	4	4	no	—
362	C₄	—	4	8	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	#2548	1	4	yes	—
366	C₄	C₂×#488	1	8	yes	complemented
367	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
368	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
369	C₂	—	16	4	no	—
370	C₂	#28752	1	8	yes	direct product factor
371	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#3035	1	2	yes	—
373	C₂	C₂²×#488	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#3140	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#3212	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#488	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#125	C₂	semidirect
4. #28752	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#2042	C₂	semidirect
7. C₂×#1981	C₂	semidirect
8. C₂×#1958	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
16. C₂×#488	C₂²	semidirect
26. C₄×#125	C₂²	semidirect
35. #2042	C₂²	semidirect
37. #1981	C₂²	semidirect
38. #1958	C₂²	semidirect
39. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
54. C₂×#125	D₄	semidirect
143. #125	C₂×D₄	semidirect
328. C₂×C₄	#488	semidirect
366. C₄	C₂×#488	semidirect
370. C₂	#28752	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#488	2
C₂×#2858	2
C₂×C₄×#125	2
#28752	2
C₂×#2042	2
C₂×#1982	2
C₂×#1981	2
C₂×#1958	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2

Subgroups — C2×#28752 #6466827

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#28752 #6466827