Subgroups — C₂×#28756 #6466834

Order 512.

3422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28756	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#2041	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1982	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1961	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	—	2	2	no	—
10	C₂²×#127	—	2	2	no	—
11	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#490	—	2	16	no	—
16	C₂×#490	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	#2867	—	2	4	no	—
22	#2867	C₂²	1	8	yes	—
23	C₄×#125	—	2	4	no	—
24	C₄×#125	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#387	—	2	2	no	—
27	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2041	C₂²	1	32	yes	complemented
32	#1982	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#1961	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1767	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×#127	—	2	8	no	—
43	C₂×#127	—	2	4	no	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#127	—	2	4	no	—
46	C₂×#127	—	2	16	no	—
47	C₂×#127	—	2	16	no	—
48	C₂×#127	—	2	8	no	—
49	C₂×#127	—	2	16	no	—
50	C₂×#127	—	4	8	no	—
51	C₂×#127	—	4	16	no	—
52	C₂×#127	—	4	16	no	—
53	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×#125	—	2	2	no	—
57	C₂×#125	—	2	4	no	—
58	C₂×#125	D₄	1	8	yes	complemented
59	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#490	—	2	64	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#102	—	2	32	no	—
74	C₂×#102	—	4	16	no	—
75	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
76	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
77	C₂×#97	—	2	8	no	—
78	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
79	#389	—	2	4	no	—
80	#389	C₂³	1	8	yes	—
81	#387	—	2	16	no	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#382	C₂³	1	4	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	2	no	—
89	C₂×#95	—	2	2	no	—
90	C₄³	D₄	1	4	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
92	#336	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂⁵	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
113	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
125	#127	—	2	16	no	—
126	#127	—	2	16	no	—
127	#127	—	2	32	no	—
128	#127	—	4	16	no	—
129	#127	—	4	16	no	—
130	#127	—	4	64	no	—
131	#127	—	4	64	no	—
132	#127	—	4	16	no	—
133	#127	—	4	16	no	—
134	#125	—	2	16	no	—
135	#125	—	2	8	no	—
136	#125	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
165	#102	—	2	64	no	—
166	#102	—	4	32	no	—
167	#97	—	2	16	no	—
168	#95	—	2	8	no	—
169	#95	—	2	8	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	C₂⁴	—	2	8	no	—
172	C₂⁴	—	4	8	no	—
173	C₂⁴	—	4	8	no	—
174	C₂⁴	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	4	16	no	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	32	no	—
183	C₂×D₄	—	4	32	no	—
184	C₂×D₄	—	4	32	no	—
185	C₂×D₄	—	4	32	no	—
186	C₂×D₄	—	4	32	no	—
187	C₂×D₄	—	4	32	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	16	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	32	no	—
195	C₂×D₄	—	4	32	no	—
196	C₂×D₄	—	4	32	no	—
197	C₂×D₄	—	8	32	no	—
198	C₂×D₄	—	8	64	no	—
199	C₂×D₄	—	8	64	no	—
200	C₂×D₄	—	8	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	16	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	16	no	—
242	C₄²	—	2	16	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	4	16	no	—
245	C₄²	#121	1	8	yes	—
246	C₄²	#124	1	8	yes	—
247	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	8	16	no	—
256	C₂³	—	8	16	no	—
257	C₂³	—	8	32	no	—
258	C₂³	—	8	32	no	—
259	C₂³	—	8	16	no	—
260	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
262	C₂³	#535	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	4	16	no	—
267	D₄	—	4	16	no	—
268	D₄	—	8	64	no	—
269	D₄	—	8	32	no	—
270	D₄	—	8	64	no	—
271	D₄	—	8	32	no	—
272	D₄	—	8	16	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	16	no	—
276	C₂×C₄	—	2	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	8	8	no	—
289	C₂×C₄	#490	1	16	yes	complemented
290	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₈	—	4	8	no	—
305	C₂²	—	8	16	no	—
306	C₂²	—	8	8	no	—
307	C₂²	—	8	8	no	—
308	C₂²	—	8	8	no	—
309	C₂²	—	8	16	no	—
310	C₂²	—	16	32	no	—
311	C₂²	#2548	1	4	yes	—
312	C₂²	#3038	1	8	yes	—
313	C₂²	C₂×#490	1	4	yes	—
314	C₂²	#3138	1	4	yes	—
315	C₂²	#3217	1	8	yes	—
316	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	8	no	—
324	C₄	—	4	8	no	—
325	C₄	—	8	4	no	—
326	C₄	#2548	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×#490	1	8	yes	complemented
328	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
329	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
330	C₂	—	16	8	no	—
331	C₂	#28756	1	8	yes	direct product factor
332	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#3038	1	2	yes	—
334	C₂	C₂²×#490	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂×#3138	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#3217	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#2867	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#490	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#125	C₂	semidirect
4. #28756	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#2041	C₂	semidirect
6. C₂×#1982	C₂	semidirect
7. C₂×#1961	C₂	semidirect
8. C₂×#1767	C₂	semidirect
16. C₂×#490	C₂²	semidirect
24. C₄×#125	C₂²	semidirect
31. #2041	C₂²	semidirect
32. #1982	C₂²	semidirect
33. #1961	C₂²	semidirect
34. #1767	C₂²	semidirect
58. C₂×#125	D₄	semidirect
136. #125	C₂×D₄	semidirect
289. C₂×C₄	#490	semidirect
327. C₄	C₂×#490	semidirect
331. C₂	#28756	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#490	2
C₂×#2867	2
C₂×C₄×#125	2
#28756	2
C₂×#2041	2
C₂×#1982	2
C₂×#1961	2
C₂×#1767	2

Subgroups — C2×#28756 #6466834

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#28756 #6466834