Subgroups — #6466845

Order 512.

3394 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28756	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#28749	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23505	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21260	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	—	2	4	no	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	#3138	—	2	16	no	—
16	C₂×#490	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂×#486	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#2867	—	2	2	no	—
23	#2867	—	2	2	no	—
24	#2867	C₂²	1	4	yes	—
25	#2867	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₄×#125	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
29	#2296	C₂²	1	2	yes	—
30	#2295	—	2	2	no	—
31	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄²×Q₈	—	2	2	no	—
33	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2041	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#1982	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1961	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1728	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	#533	—	2	4	no	—
48	#533	D₄	1	8	yes	complemented
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	—	2	8	no	—
51	C₂×#127	—	2	4	no	—
52	C₂×#127	—	2	4	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	8	no	—
56	C₂×#127	—	2	8	no	—
57	C₂×#127	—	2	8	no	—
58	C₂×#127	—	2	8	no	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	2	16	no	—
61	C₂×#127	—	4	8	no	—
62	C₂×#127	—	4	32	no	—
63	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#490	—	2	32	no	—
78	#486	—	2	32	no	—
79	#423	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
81	#418	—	2	32	no	—
82	#418	—	4	16	no	—
83	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
85	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
86	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	#391	—	2	4	no	—
89	#389	—	2	4	no	—
90	#389	C₂³	1	8	yes	—
91	#387	—	2	8	no	—
92	#385	—	2	4	no	—
93	#384	C₂³	1	2	yes	—
94	#382	C₂³	1	2	yes	—
95	#380	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	#376	—	2	2	no	—
103	C₄³	—	2	2	no	—
104	C₄³	D₄	1	2	yes	—
105	C₄³	D₄	1	2	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂⁵	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
138	#127	—	2	8	no	—
139	#127	—	2	8	no	—
140	#127	—	2	8	no	—
141	#127	—	2	8	no	—
142	#127	—	2	32	no	—
143	#127	—	4	16	no	—
144	#127	—	4	16	no	—
145	#127	—	4	32	no	—
146	#127	—	4	32	no	—
147	#127	—	4	32	no	—
148	#127	—	4	16	no	—
149	#127	—	4	8	no	—
150	#127	—	4	8	no	—
151	#127	—	4	32	no	—
152	#125	—	2	4	no	—
153	#125	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
154	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	8	no	—
159	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
189	#102	—	2	64	no	—
190	#102	—	4	32	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	4	32	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	8	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	16	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	16	no	—
208	C₂×D₄	—	4	32	no	—
209	C₂×D₄	—	4	32	no	—
210	C₂×D₄	—	4	32	no	—
211	C₂×D₄	—	4	32	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	32	no	—
220	C₂×D₄	—	4	32	no	—
221	C₂×D₄	—	4	32	no	—
222	C₂×D₄	—	4	32	no	—
223	C₂×D₄	—	4	32	no	—
224	C₂×D₄	—	8	64	no	—
225	C₂×D₄	—	8	64	no	—
226	C₂×D₄	—	8	64	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	4	16	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	4	16	no	—
267	C₄²	#121	1	8	yes	—
268	C₄²	#124	1	4	yes	—
269	C₄²	#124	1	4	yes	—
270	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	16	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	32	no	—
281	C₂³	—	8	32	no	—
282	C₂³	—	8	32	no	—
283	C₂³	—	8	32	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
287	C₂³	#535	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	16	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	D₄	—	4	16	no	—
292	D₄	—	8	64	no	—
293	D₄	—	8	32	no	—
294	D₄	—	8	32	no	—
295	D₄	—	8	32	no	—
296	D₄	—	8	32	no	—
297	D₄	—	8	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
325	C₈	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	8	8	no	—
330	C₂²	—	8	16	no	—
331	C₂²	—	8	16	no	—
332	C₂²	—	8	16	no	—
333	C₂²	—	16	32	no	—
334	C₂²	#2548	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	8	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	—	8	4	no	—
344	C₄	#2548	1	4	yes	—
345	C₄	#3038	1	8	yes	—
346	C₄	#3138	1	8	yes	complemented
347	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	16	8	no	—
351	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#3038	1	2	yes	—
353	C₂	C₂×#3138	1	2	yes	—
354	C₂	#60798	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#2867	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3138	C₂	semidirect
3. C₄×#533	C₂	semidirect
4. #28756	C₂	semidirect
5. #28749	C₂	semidirect
6. #23505	C₂	semidirect
7. #21260	C₂	semidirect
8. #21203	C₂	semidirect
9. C₄×#423	C₂	semidirect
16. C₂×#490	C₂²	semidirect
17. C₂×#486	C₂²	semidirect
26. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. C₄×#125	C₂²	semidirect
35. #2041	C₂²	semidirect
36. #1982	C₂²	semidirect
37. #1961	C₂²	semidirect
38. #1957	C₂²	semidirect
39. #1767	C₂²	semidirect
40. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
48. #533	D₄	semidirect
137. C₄⋊Q₈	C₂×D₄	semidirect
153. #125	C₂×D₄	semidirect
346. C₄	#3138	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
C₂×#2867	2
C₄×#533	2
#28756	2
#28749	2
#23505	2
#21260	2
#21203	2
C₄×#423	2