Subgroups — #6466848

Order 512.

2486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28757	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28750	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23506	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21261	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	#3139	—	2	8	no	—
18	#3138	—	2	8	no	—
19	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2858	—	2	2	no	—
31	#2858	—	2	2	no	—
32	#2858	C₂²	1	4	yes	—
33	#2858	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₄×#125	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	#2296	C₂²	1	2	yes	—
38	#2295	—	2	2	no	—
39	C₂×#390	—	2	4	no	—
40	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄²×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2042	C₂²	1	32	yes	complemented
45	#1983	C₂²	1	32	yes	complemented
46	#1961	C₂²	1	4	yes	—
47	#1960	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1957	C₂²	1	4	yes	—
49	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
51	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#1728	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	#533	—	2	4	no	—
59	#533	D₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	C₂×#127	—	2	4	no	—
69	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#124	—	2	4	no	—
73	C₂×#124	—	2	2	no	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	—	2	16	no	—
76	C₂×#124	—	4	8	no	—
77	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#491	—	2	16	no	—
92	#490	—	2	16	no	—
93	#487	—	2	16	no	—
94	#486	—	2	16	no	—
95	#423	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	#419	—	2	16	no	—
98	#419	—	4	8	no	—
99	#418	—	2	16	no	—
100	#418	—	4	8	no	—
101	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
105	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	#391	—	2	4	no	—
112	#390	—	2	8	no	—
113	#390	—	2	8	no	—
114	#390	—	2	8	no	—
115	#390	—	2	8	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	C₂³	1	8	yes	—
118	#387	—	2	8	no	—
119	#385	—	2	4	no	—
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#380	—	2	2	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	#376	—	2	2	no	—
130	C₄³	—	2	2	no	—
131	C₄³	D₄	1	2	yes	—
132	C₄³	D₄	1	2	yes	—
133	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
135	#336	C₂³	1	8	yes	—
136	C₂⁵	—	2	2	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
173	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#127	—	2	4	no	—
176	#127	—	2	4	no	—
177	#127	—	2	4	no	—
178	#127	—	4	8	no	—
179	#125	—	2	4	no	—
180	#125	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	#124	—	2	32	no	—
182	#124	—	4	16	no	—
183	#124	—	4	16	no	—
184	#124	—	4	8	no	—
185	#124	—	4	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
188	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	8	no	—
191	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
229	#103	—	2	32	no	—
230	#103	—	4	16	no	—
231	#102	—	2	32	no	—
232	#102	—	4	16	no	—
233	#97	—	2	4	no	—
234	#97	—	2	4	no	—
235	C₄×C₈	—	2	4	no	—
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	C₂⁴	—	2	4	no	—
241	C₂⁴	—	4	16	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	4	4	no	—
244	C₂⁴	—	4	4	no	—
245	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	8	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	16	no	—
262	C₂×D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	16	no	—
268	C₂×D₄	—	4	16	no	—
269	C₂×D₄	—	4	16	no	—
270	C₂×D₄	—	8	32	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
282	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	M₁₆	—	4	8	no	—
295	M₁₆	—	4	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
316	C₄²	—	2	8	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	8	no	—
319	C₄²	—	2	8	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	—	4	4	no	—
323	C₄²	—	4	16	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	#121	1	8	yes	—
326	C₄²	#124	1	4	yes	—
327	C₄²	#124	1	4	yes	—
328	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
333	C₂³	—	2	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	16	no	—
338	C₂³	—	8	16	no	—
339	C₂³	—	8	16	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	8	no	—
342	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
344	C₂³	#535	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	4	16	no	—
347	Q₈	—	4	8	no	—
348	Q₈	—	4	8	no	—
349	Q₈	—	8	8	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	8	no	—
352	D₄	—	8	16	no	—
353	D₄	—	8	16	no	—
354	D₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	16	no	—
359	C₂×C₄	—	2	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	8	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	8	8	no	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
380	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
381	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
382	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	8	no	—
393	C₂²	—	8	8	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	16	16	no	—
396	C₂²	#2548	1	4	yes	—
397	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	4	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	4	8	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	#2548	1	4	yes	—
409	C₄	#3040	1	8	yes	—
410	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
411	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
412	C₂	—	2	4	no	—
413	C₂	—	16	4	no	—
414	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂×#3040	1	2	yes	—
416	C₂	#60618	1	2	yes	—
417	C₂	#60801	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3139	C₂	semidirect
4. C₄×#533	C₂	semidirect
5. #28757	C₂	semidirect
6. #28750	C₂	semidirect
7. #23506	C₂	semidirect
8. #21261	C₂	semidirect
10. #21202	C₂	semidirect
11. C₄×#423	C₂	semidirect
19. C₂×#491	C₂²	semidirect
21. C₂×#487	C₂²	semidirect
34. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
35. C₄×#125	C₂²	semidirect
44. #2042	C₂²	semidirect
45. #1983	C₂²	semidirect
47. #1960	C₂²	semidirect
49. #1956	C₂²	semidirect
50. #1767	C₂²	semidirect
51. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3139	2
C₂×#3138	2
C₂×#2858	2
C₄×#533	2
#28757	2
#28750	2
#23506	2
#21261	2
#21203	2
#21202	2
C₄×#423	2