Subgroups — #6466849

Order 512.

2306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#34641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28761	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#28760	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23508	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21258	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3142	—	2	16	no	—
15	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#2658	C₂²	1	4	yes	—
23	#2657	C₂²	1	4	yes	—
24	#2656	—	2	2	no	—
25	#2656	—	2	2	no	—
26	#2397	—	2	4	no	—
27	#2330	—	2	4	no	—
28	#2330	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#389	—	2	2	no	—
30	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#387	—	2	2	no	—
32	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2043	C₂²	1	8	yes	—
36	#2042	C₂²	1	16	yes	—
37	#2041	C₂²	1	8	yes	—
38	#1983	C₂²	1	16	yes	—
39	#1982	C₂²	1	8	yes	—
40	#1981	C₂²	1	8	yes	—
41	#1959	C₂²	1	8	yes	—
42	#1957	C₂²	1	4	yes	—
43	#1956	C₂²	1	4	yes	—
44	#1768	C₂²	1	8	yes	—
45	#1728	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#532	—	2	8	no	—
49	#532	—	2	8	no	—
50	#532	—	2	16	no	—
51	#532	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	—	2	4	no	—
60	C₂×#125	D₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#491	—	2	16	no	—
83	#490	—	2	16	no	—
84	#488	—	2	32	no	—
85	#423	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	#417	—	2	32	no	—
88	#417	—	4	16	no	—
89	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
93	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	#399	—	2	8	no	—
97	#399	—	2	8	no	—
98	#392	—	2	8	no	—
99	#392	—	2	8	no	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	—	2	16	no	—
102	#389	C₂³	1	8	yes	—
103	#387	—	2	16	no	—
104	#384	—	2	2	no	—
105	#384	C₂³	1	4	yes	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	#376	D₄	1	4	yes	—
109	#376	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#95	—	2	2	no	—
111	C₂×#95	—	2	2	no	—
112	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
113	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
114	#336	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×#41	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	16	no	—
118	C₂×#41	—	2	16	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
142	#127	—	2	4	no	—
143	#127	—	2	4	no	—
144	#127	—	2	8	no	—
145	#127	—	4	4	no	—
146	#125	—	2	16	no	—
147	#125	—	2	8	no	—
148	#125	C₂×D₄	1	16	yes	—
149	#124	—	2	8	no	—
150	#124	—	2	8	no	—
151	#124	—	2	16	no	—
152	#124	—	4	8	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	4	8	no	—
155	#121	—	4	16	no	—
156	#121	—	4	16	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	16	no	—
160	C₄×D₄	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
195	#103	—	2	32	no	—
196	#103	—	4	16	no	—
197	#102	—	2	32	no	—
198	#102	—	4	16	no	—
199	#97	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	2	8	no	—
201	#95	—	2	8	no	—
202	#95	—	2	8	no	—
203	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	4	32	no	—
208	#41	—	4	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	4	no	—
226	C₂×D₄	—	8	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	4	16	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	8	8	no	—
285	C₄²	#121	1	8	yes	—
286	C₄²	#124	1	8	yes	—
287	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
289	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
299	C₂³	#535	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	4	8	no	—
302	Q₈	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	—	8	16	no	—
334	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
345	C₈	—	4	8	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	8	8	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	#2548	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3585	1	2	yes	—
360	C₂²	#3586	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	2	8	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	#2548	1	4	yes	—
369	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
370	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	—	16	4	no	—
373	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#60425	1	2	yes	—
375	C₂	#60621	1	2	yes	—
376	C₂	#60808	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#60809	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#34641	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3142	C₂	semidirect
3. C₂×#2330	C₂	semidirect
4. #28761	C₂	semidirect
5. #28760	C₂	semidirect
6. #23508	C₂	semidirect
7. #21258	C₂	semidirect
8. #21200	C₂	semidirect
9. #20429	C₂	semidirect
60. C₂×#125	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
#34641	2
C₂×#2330	2
#28761	2
#28760	2
#23508	2
#21258	2
#21200	2
#20429	2