Subgroups — #6466866

Order 512.

2172 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#35317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#34217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28760	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28757	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28755	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23512	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21262	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#21199	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#3142	—	2	8	no	—
19	C₂×#491	—	2	8	no	—
20	C₂×#491	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#490	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#488	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2868	C₂²	1	2	yes	—
33	#2858	C₂²	1	2	yes	—
34	#2658	C₂²	1	4	yes	—
35	#2542	—	2	4	no	—
36	#2501	—	2	4	no	—
37	#2370	—	2	4	no	—
38	#2345	—	2	4	no	—
39	#2330	C₂²	1	4	yes	—
40	#2316	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#125	C₂²	1	4	yes	—
42	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2274	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#2043	C₂²	1	16	yes	—
46	#2042	C₂²	1	16	yes	—
47	#1983	C₂²	1	16	yes	—
48	#1981	C₂²	1	16	yes	—
49	#1961	C₂²	1	2	yes	—
50	#1960	C₂²	1	2	yes	—
51	#1960	C₂²	1	4	yes	—
52	#1959	C₂²	1	4	yes	—
53	#1956	C₂²	1	4	yes	—
54	#1768	C₂²	1	4	yes	—
55	#1767	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	#536	—	2	16	no	—
62	#536	—	4	8	no	—
63	#532	—	2	4	no	—
64	#532	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#125	—	2	2	no	—
75	C₂×#125	—	2	4	no	—
76	C₂×#125	D₄	1	8	yes	—
77	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#123	—	2	4	no	—
83	C₂×#123	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂×#121	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#491	—	2	16	no	—
96	#491	—	2	16	no	—
97	#491	—	2	8	no	—
98	#490	—	2	8	no	—
99	#488	—	2	16	no	—
100	#424	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
102	#419	—	4	8	no	—
103	#417	—	2	16	no	—
104	#416	—	4	8	no	—
105	C₂×#103	—	2	16	no	—
106	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
108	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
112	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×#97	—	2	4	no	—
114	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	#399	—	2	16	no	—
119	#390	—	2	8	no	—
120	#389	—	2	4	no	—
121	#389	—	2	8	no	—
122	#389	C₂³	1	8	yes	—
123	#387	—	2	8	no	—
124	#387	—	2	8	no	—
125	#384	—	2	8	no	—
126	#384	C₂³	1	2	yes	—
127	#382	C₂³	1	2	yes	—
128	#380	—	2	2	no	—
129	#380	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
134	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
135	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
137	#376	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
139	#336	C₂³	1	8	yes	—
140	C₂×#41	—	2	4	no	—
141	C₂×#41	—	2	4	no	—
142	C₂×#41	—	2	8	no	—
143	C₂×#41	—	2	8	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
149	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#127	—	2	2	no	—
178	#125	—	2	16	no	—
179	#125	—	2	4	no	—
180	#125	—	2	4	no	—
181	#125	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	#125	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	#124	—	2	4	no	—
184	#124	—	2	4	no	—
185	#124	—	2	16	no	—
186	#124	—	4	8	no	—
187	#123	—	4	16	no	—
188	#123	—	4	16	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
191	#121	—	4	8	no	—
192	C₄×D₄	—	4	8	no	—
193	#117	—	2	4	no	—
194	#117	—	2	8	no	—
195	#117	#41	1	8	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
231	#103	—	2	32	no	—
232	#103	—	2	16	no	—
233	#103	—	4	8	no	—
234	#103	—	4	16	no	—
235	#102	—	2	16	no	—
236	#102	—	4	8	no	—
237	#97	—	2	4	no	—
238	#97	—	2	4	no	—
239	#97	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	#95	—	2	8	no	—
242	#95	—	2	4	no	—
243	#95	—	2	8	no	—
244	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
245	C₂⁴	—	2	2	no	—
246	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	#41	—	4	16	no	—
248	#41	—	4	16	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	M₁₆	—	4	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
314	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
316	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
317	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
323	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	4	8	no	—
326	C₄²	—	4	4	no	—
327	C₄²	—	8	8	no	—
328	C₄²	#121	1	8	yes	—
329	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	4	8	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
341	C₂³	#535	1	2	yes	—
342	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	4	8	no	—
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	Q₈	—	4	8	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	8	8	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	8	8	no	—
351	D₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	8	8	no	—
371	C₂×C₄	—	8	8	no	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
379	C₂×C₄	#559	1	8	yes	—
380	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
384	C₈	—	4	4	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	#2548	1	4	yes	—
394	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3586	1	4	yes	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	8	no	—
401	C₄	—	4	8	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	#2548	1	4	yes	—
407	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
408	C₄	C₂×#559	1	2	yes	—
409	C₂	—	2	4	no	—
410	C₂	—	16	2	no	—
411	C₂	C₂×#2548	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#60427	1	2	yes	—
413	C₂	#60627	1	2	yes	—
414	C₂	#60831	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#491	C₂	semidirect
4. #34217	C₂	semidirect
5. #28760	C₂	semidirect
6. #28757	C₂	semidirect
7. #28755	C₂	semidirect
8. #23512	C₂	semidirect
9. #21262	C₂	semidirect
10. #21202	C₂	semidirect
12. #20427	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
C₂²×#491	2
#35317	2
#34217	2
#28760	2
#28757	2
#28755	2
#23512	2
#21262	2
#21202	2
#21199	2
#20427	2