Subgroups — #6467389

Order 512.

2504 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#35319	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#28514	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28320	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27908	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25717	C₂	1	2	yes	maximal
10	#23811	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#21692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₄×#492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#541	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	#3123	—	2	32	no	—
20	C₂×#485	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#478	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#461	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#440	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#433	C₂²	1	2	yes	—
27	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#2857	C₂²	1	2	yes	—
30	#2642	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2621	C₂²	1	2	yes	—
32	#2506	—	2	4	no	—
33	#2496	—	2	4	no	—
34	#2366	—	2	4	no	—
35	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
36	#2328	C₂²	1	2	yes	—
37	#2328	C₂²	1	2	yes	—
38	#2327	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#2309	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
43	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#2097	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#2092	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#2014	C₂²	1	8	yes	—
48	#2013	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#1973	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#1968	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#1957	C₂²	1	2	yes	—
52	#1957	C₂²	1	2	yes	—
53	#1956	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#1956	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#1844	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#1768	C₂²	1	2	yes	complemented
58	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#1750	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
61	#1746	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
68	#541	—	2	16	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#127	—	2	8	no	—
73	C₂×#127	—	2	2	no	—
74	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#126	—	2	4	no	—
77	C₂×#125	—	2	4	no	—
78	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#518	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#492	—	2	8	no	—
93	#492	—	2	8	no	—
94	#485	—	2	32	no	—
95	#478	—	2	32	no	—
96	#461	—	2	32	no	—
97	#450	—	2	32	no	—
98	#440	—	2	32	no	—
99	C₄×SD₁₆	—	2	32	no	—
100	#433	D₄	1	16	yes	complemented
101	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	#400	—	2	8	no	—
116	#398	—	2	4	no	—
117	#397	—	2	4	no	—
118	#391	C₂³	1	4	yes	—
119	#391	C₂³	1	4	yes	—
120	#390	—	2	4	no	—
121	#390	—	2	4	no	—
122	#390	—	2	4	no	—
123	#390	C₂³	1	4	yes	—
124	#390	C₂³	1	4	yes	—
125	#389	—	2	4	no	—
126	#389	—	2	4	no	—
127	#389	—	2	4	no	—
128	#387	—	2	8	no	—
129	#386	—	2	8	no	—
130	#386	—	2	8	no	—
131	#384	—	2	4	no	—
132	#384	C₂³	1	2	yes	—
133	#384	C₂³	1	2	yes	—
134	#382	C₂³	1	2	yes	—
135	#382	C₂³	1	2	yes	—
136	#380	—	2	2	no	—
137	#380	—	2	4	no	—
138	#379	—	2	4	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
142	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
143	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#336	C₂³	1	4	yes	—
148	#336	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂⁵	—	2	2	no	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
159	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
165	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
176	#127	—	2	16	no	—
177	#127	—	2	8	no	—
178	#127	—	2	4	no	—
179	#127	#41	1	8	yes	—
180	#126	—	4	16	no	—
181	#125	—	2	8	no	—
182	#125	—	4	16	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
185	C₄×D₄	—	2	16	no	—
186	C₄×D₄	—	2	16	no	—
187	C₄×D₄	—	4	16	no	—
188	C₄×D₄	—	8	8	no	—
189	C₄×D₄	—	8	8	no	—
190	#117	—	2	8	no	—
191	#117	—	4	2	no	—
192	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	#107	—	2	16	no	—
227	#106	—	2	16	no	—
228	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
229	#103	—	2	16	no	—
230	#103	—	2	16	no	—
231	#102	—	2	16	no	—
232	#102	—	2	16	no	—
233	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
234	#97	—	4	2	no	—
235	#97	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	C₄×C₈	—	2	4	no	—
238	C₄×C₈	—	4	2	no	—
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
240	#95	—	2	4	no	—
241	#95	—	2	8	no	—
242	#95	—	2	8	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₂⁴	—	2	8	no	—
247	C₂⁴	—	2	4	no	—
248	C₂⁴	—	4	4	no	—
249	C₂⁴	—	4	4	no	—
250	C₂⁴	—	8	8	no	—
251	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	16	no	—
258	C₂×D₄	—	2	16	no	—
259	C₂×D₄	—	2	8	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	32	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	8	32	no	—
269	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	SD₁₆	—	4	32	no	—
291	SD₁₆	—	4	32	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
298	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	#127	1	8	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	#127	1	8	yes	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	8	no	—
320	C₄²	—	2	8	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	—	4	8	no	—
326	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
327	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
328	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
329	C₂³	—	2	1	no	—
330	C₂³	—	2	1	no	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	2	8	no	—
333	C₂³	—	4	16	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	8	no	—
337	C₂³	—	4	8	no	—
338	C₂³	—	8	16	no	—
339	C₂³	—	16	8	no	—
340	C₂³	—	16	8	no	—
341	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
342	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	4	8	no	—
344	Q₈	—	4	8	no	—
345	D₄	—	2	16	no	—
346	D₄	—	4	16	no	—
347	D₄	—	4	32	no	—
348	D₄	—	4	8	no	—
349	D₄	—	8	16	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	16	8	no	—
370	C₂×C₄	—	16	8	no	—
371	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
376	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
379	C₈	—	2	8	no	—
380	C₈	—	2	8	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	8	no	—
386	C₂²	—	4	16	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	16	16	no	—
391	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	#3123	1	8	yes	complemented
405	C₄	D₄×#41	1	4	yes	—
406	C₂	—	4	2	no	—
407	C₂	—	8	8	no	—
408	C₂	#34936	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#3123	1	2	yes	—
410	C₂	#60646	1	2	yes	—
411	C₂	#61012	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3123	C₂	semidirect
2. #35319	C₂	semidirect
4. #28514	C₂	semidirect
5. #28438	C₂	semidirect
6. #28388	C₂	semidirect
7. #28320	C₂	semidirect
8. #27908	C₂	semidirect
10. #23811	C₂	semidirect
11. #21692	C₂	semidirect
12. C₄×#492	C₂	semidirect
13. C₄×#433	C₂	semidirect
21. C₂×#478	C₂²	semidirect
22. C₂×#461	C₂²	semidirect
24. C₂×#440	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
27. #2868	C₂²	semidirect
28. #2859	C₂²	semidirect
30. #2642	C₂²	semidirect
38. #2327	C₂²	semidirect
40. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
45. #2097	C₂²	semidirect
46. #2092	C₂²	semidirect
48. #2013	C₂²	semidirect
49. #1973	C₂²	semidirect
50. #1968	C₂²	semidirect
53. #1956	C₂²	semidirect
54. #1956	C₂²	semidirect
55. #1845	C₂²	semidirect
56. #1844	C₂²	semidirect
57. #1768	C₂²	semidirect
58. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
61. #1746	C₂²	semidirect
62. C₄×#97	C₂²	semidirect
63. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
100. #433	D₄	semidirect
228. C₄⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
235. #97	C₂×D₄	semidirect
239. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
404. C₄	#3123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3123	2
#35319	2
#34210	2
#28514	2
#28438	2
#28388	2
#28320	2
#27908	2
#25717	2
#23811	2
#21692	2
C₄×#492	2
C₄×#433	2