Subgroups — #6467928

Order 512.

1706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34938	C₂	1	2	yes	maximal
2	#28827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#28789	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28769	C₂	1	4	yes	maximal
6	#26065	C₂	1	4	yes	maximal
7	#23835	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#500	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21358	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	—	2	2	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2552	C₂²	1	4	yes	—
19	#2551	C₂²	1	4	yes	—
20	#2550	—	2	4	no	—
21	#2549	—	2	4	no	—
22	#2440	C₂²	1	8	yes	—
23	#2399	—	2	4	no	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
25	#2296	—	2	2	no	—
26	#2285	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	#2083	C₂²	1	8	yes	—
30	#2083	C₂²	1	8	yes	—
31	#2057	C₂²	1	8	yes	—
32	#2057	C₂²	1	8	yes	—
33	#1990	C₂²	1	8	yes	—
34	#1947	C₂²	1	4	yes	—
35	#1947	C₂²	1	4	yes	—
36	#1942	C₂²	1	8	yes	—
37	#1942	C₂²	1	4	yes	—
38	#1942	C₂²	1	4	yes	—
39	#1852	C₂²	1	8	yes	—
40	#1845	C₂²	1	2	yes	—
41	#1845	C₂²	1	4	yes	—
42	#1834	C₂²	1	2	yes	—
43	#1808	C₂²	1	2	yes	—
44	#1808	C₂²	1	2	yes	—
45	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×#107	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
53	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
54	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
56	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
57	#1744	C₂²	1	2	yes	—
58	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#533	—	4	16	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#125	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
68	C₂×#117	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#500	—	2	16	no	—
75	#431	Q₈	1	8	yes	complemented
76	C₂×#107	—	2	8	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#398	—	2	8	no	—
95	#398	—	2	8	no	—
96	#395	—	2	8	no	—
97	#395	—	2	8	no	—
98	#391	—	2	8	no	—
99	#389	—	2	4	no	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	—	2	8	no	—
102	#389	C₂³	1	8	yes	—
103	#389	C₂³	1	8	yes	—
104	#385	—	2	8	no	—
105	#384	C₂³	1	8	yes	—
106	#384	C₂³	1	4	yes	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	#380	—	2	2	no	—
109	#380	C₂³	1	4	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	#376	D₄	1	2	yes	—
123	C₂×#95	—	2	2	no	—
124	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
125	#340	C₂³	1	2	yes	—
126	#340	C₂³	1	4	yes	—
127	#340	C₂³	1	8	yes	—
128	#340	C₂³	1	4	yes	—
129	#340	C₂³	1	2	yes	—
130	#340	C₂³	1	8	yes	—
131	#340	C₂³	1	4	yes	—
132	#336	C₂³	1	4	yes	—
133	#336	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
151	#125	—	4	16	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
154	#117	—	4	8	no	—
155	#117	D₈	1	8	yes	—
156	#117	Q₁₆	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#107	—	2	4	no	—
191	#107	—	2	8	no	—
192	#107	—	2	8	no	—
193	#107	—	2	16	no	—
194	#107	—	4	8	no	—
195	#107	—	4	4	no	—
196	#107	#41	1	8	yes	—
197	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
198	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
199	C₄×C₈	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	4	4	no	—
201	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	8	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
269	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	4	4	no	—
277	C₄²	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	—	4	8	no	—
281	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
282	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	—
284	C₄²	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
285	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	8	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	#500	1	16	yes	complemented
318	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	#533	1	4	yes	complemented
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	C₂×#500	1	4	yes	—
343	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	D₄×#41	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3584	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	8	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	8	no	—
353	C₄	—	4	8	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₄	—	8	8	no	—
356	C₄	C₂×#500	1	4	yes	—
357	C₄	C₂×#500	1	4	yes	—
358	C₄	C₂×#533	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3458	1	1	yes	characteristic
360	C₄	Q₈×#41	1	2	yes	—
361	C₂	—	2	4	no	—
362	C₂	#34938	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂²×#500	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#60660	1	1	yes	characteristic
365	C₂	D₈×#41	1	2	yes	—
366	C₂	Q₁₆×#41	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28827	C₂	semidirect
3. #28813	C₂	semidirect
4. #28789	C₂	semidirect
7. #23835	C₂	semidirect
8. C₄×#500	C₂	semidirect
75. #431	Q₈	semidirect
86. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
317. C₂×C₄	#500	semidirect
337. C₈	#533	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34938	2
#28827	2
#28813	2
#28789	2
#28769	2
#26065	2
#23835	2
C₄×#500	2
#21358	2
#20817	2
C₈×#117	2
C₂×C₄×#107	2